od anche 



Prendendo per la costante arbitraria c il valore c = | , abbiamo appunto 



l'elemento lineare del paraboloide di rotazione di parametro k. 



Così è dimostrata la nostra prima asserzione. Per provare anche la se- 

 conda, osserviamo intanto che le linee T =-- cost te sopra S 0 , cioè le deformate 

 dei paralleli del paraboloide, sono normali ai segmenti MM 0 , poiché lungo 

 una tale linea i segmenti costanti MM 0 descrivono una superfìcie rigata sulla 

 quale la linea luogo dell'estremo M taglia ad angolo retto le generatrici. 

 Per l'angolo <s d'inclinazione del segmento MM 0 sulla S' 0 si ha poi 



sen a = X 0 X 3 -j- Y 0 Y 3 + Z 0 Z 3 , 



indi dalla (I) 



senV 



e però 



F , 1_ 1 



tg G --- — = y~ ■ 



\ f 2kT — 1 kr 



Questa formola ci dimostra appunto (cf. (M) § 4) che le normali di S 

 formano una delle due congruenze associate a S 0 . 



§ 5. 



Le equazioni simultanee (III) cangiate in un sistema lineare ed omogeneo. 



Come per le equazioni di trasformazione delle superficie a curvatura 

 costante ((M) cap. IV), così anche nel caso attuale giova cangiare le equa- 

 zioni fondamentali di trasformazione (III) in un sistema lineare ed omogeneo, 

 ciò che si ottiene procedendo nel modo seguente : 



In forza delle (I), (III), l'espressione differenziale 



«? 9 _ "2iT , e () jT 



T(e e + Te'') % dU ' e° - Te -9 >t> a ° 



è il differenziale esatto di una funzione di u , v che indicheremo con logd>, 

 talché avremo: 



-jXP e °a> 1 7)T ^£ e_*J> 1 



^ — T e 6 + Te" 6 ' ìv ~~ T e 6 — Te" 9 Dv' 



Se introduciamo inoltre una seconda funzione incognita W, ponendo 



