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dalle (III) otteniamo per le due funzioni incognite 0>, W il seguente sistema 

 lineare ed omogeneo : 



^ = ^_7^_ ( ^ 29 + 1)w 



^ ' \ ~ÒU~ÒV _ ~ÒV ~hU 7«< ~ÒV 



(B) ^' uy 



In forza della equazione (1) cui soddisfa 0, questo sistema (A), (B) è 

 illimitatamente integrabile, come agevolmente si verifica. Per una coppia (£>, W) 

 di soluzioni si possono quindi fissare ad arbitrio i valori iniziali di 



TXT ^ ^ Ì<P 



e la soluzione stessa ne risulterà pienamente determinata. 



Osserviamo poi che se 0>, W soddisfano le (A), (B), inversamente la 

 funzione 



<t> 



T = — 

 W 



verrà a soddisfare le equazioni (III). 



Ricordiamo però che T deve inoltre soddisfare la (I), la quale per le 

 attuali funzioni incognite 0>, W si traduce nella equazione 



(C) e 



-20 



Ora se per una coppia qualsiasi 0>, W di soluzioni del sistema (A), (B) 

 indichiamo per un momento con J il primo membro della (C), troviamo 

 subito che, in forza delle (A), (B) stesse, si ha: 



^=0 ^ = 0, 



~ÒU ~ÒV 



cioè J = cost te . Basta dunque che i valori iniziali di W, — — 



1 isu l>v 



soddisfino la (C) e questa risulterà verificata per tutti i valori di u , v 

 e conseguentemente la funzione T = ^ soddisferà le equazioni di trasfor- 

 mazione (I) (III). 



Così resta nuovamente dimostrata la illimitata integrabilità del sistema 

 (I), (III). 



Rendiconti. 1S99, Voi. Vili, 2° Sem. 22 



