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Scritte le equazioni di trasformazione delle superficie S ad area minima 

 sotto la forma (A), (B), (C), facilmente si generalizzano a coordinate cur- 

 vilinee qualsiasi u, v a cui la superficie minima S si supponga riferita. In- 

 dicando con 



E du' + 2 F dudv -j- G dv % 

 Vdu*-\-2D'dudv + I)"dv 2 



le due forme quadratiche fondamentali di S, il detto sistema si scrive: 



Su* ( 1 ; ~òu (2 ) ~òv ^ V 



^ = \m ^ + Pi 2* + ,p W + (W - W) D' 



■ìuDv (lì ou^\2) ìv ^ ^ v 



m = R ^ + Pi — -{- #GW -J- (A* - W) D" 



/ W GD — FD f D<P ED f — FD ^0> 

 ) ~òu EG — F 2 ~Jm EG — F* }y 

 ) W GD f — FD ,f 7><P ED'' — FD f ~ò<P 

 ( "^7 — EG — F 2 7>w + EG — F 2 



(C*) + W 2 — 2k<P~W — 0 , 



i simboli di Christoffel ed il parametro differenziale J x <X> essendo calcolati 

 rispetto alla prima forma quadratica fondamentale 



mu 2 + 2$ dudv + Gefo 2 . 

 § 6. 



Za superficie trasformata S ad area minima. 



Se le normali della superficie minima S si riflettono sulla deformata S 0 

 del paraboloide di rotazione, i raggi riflessi sono alla loro volta, come sap- 

 piamo, normali ad una seconda superficieminima S, simmetrica di S rispetto 

 a S 0 . Sia M il punto della trasformata S corrispondente al punto M della 

 primitiva. Per calcolare le coordinate x , y , J di M basterà osservare che il 

 segmento MM è normale nel suo punto medio al piano tangente di S 0 in M 0 

 e si troverà subito (cfr. (M) § 15): 



1/ 1 ^ 1 \ 



colle analoghe per y , J. Siccome poi i coseni X 3 , Y 3 , Z 3 di direzione della 

 normale alla S sono proporzionali alle differenze 



x — %o ì y I/o i Z ì 



