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avremo 



e analogamente per Y 3 , Z 3 . 



Se introduciamo ora in luogo di T le due funzioni <Z>, W, otteniamo per 

 definire la superficie trasformata ~S d'area minima le formolo : 



_ , l/_ e" e 1<P _ e" 9 D<P Y \ 



(9) 



X3 = M> ^ Xl +^ ^ X ' 2 + 1 1 ~ A*J Xa * 



Con queste forinole possiamo facilmente procedere alla verifica di tutte 

 le proprietà della trasformazione. In primo luogo dalle (8) derivando e fa- 

 cendo uso delle (A), (B) deduciamo le forinole : 



ìà-fl Tri) _ ?7—(ì®X~\ Y _^!lì^ì^ x , £^^ x j 

 lu ~~ W (L ftW^WJ AW » 7w 2_r A lm 3 j 



dì e-°( g - 2 e do> tkp _r g- 2f 'p)<P\ 2 ~| x _^!^ x ) 



7>y ~" W (AW 1 L AW\>/J 2 A T 



dalle quali pel quadrato dell' elemento lineare ds della S troviamo 



,7)2,-20 



e questa ci dimostra intanto che la S è rappresentata in modo conforme 

 sulla S. Di più se deriviamo anche le (9) rispetto ad u, v, troviamo 



1% WV e Ix ÌX 3 _WV e Ix 



(10) ìu ~~ <P 2 tu' ~òv <P 2 lv ' 



onde segue che sulla S le_linee u,v sono le linee di curvatura ed i raggi 

 principali di curvatura di S sono 



(11) r 2 =T-e- 2 \ ri = — T 2 e- 2t) 



e però la S stessa è una superficie d'area minima, ciò che completa le nostre 

 verifiche. 



§ 7. 



Relazione colle congruenze di Thybaut. 



Ogni superfìcie ad area minima S ne definisce, a meno di una trasla- 

 zione nello spazio, una seconda 2-, la coniugala in applicabilità ( ! ) secondo 

 Bonnet, che corrisponde alla S, 1° per parallelismo delle normali, 2° per 

 ortogonalità di elementi, 3° per eguaglianza di elemento lineare. Essendo nel 



( L ) Lezioni, pag. 346. 



