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Dy 



Dm 



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caso nostro la S riferita ad un sistema ortogonale isotermo u, y, con para- 

 metri isometrici, le coordinate £ , rj , £ del punto della coniugata 2 che cor- 

 risponde al punto (ss , y , z) di S sono definite, a meno di costanti additive, 

 dalle forinole: 



) ~!)u ~~ D.y ' Dm Dy ' Dm Dy 



( 12 ) )H_ 15'- J^. — _il 



( Dy ~òu ' Dy Dm ' Dy Dm * 



Indichiamo similmente con ^ la coniugata in applicabilità della S ed 

 avremo le formole analoghe : 



(12*) 



Ora dimostriamo che prendendo convenientemente le costanti additive_ 

 in £ , rj , C; £ , potremo far sì che le due superfìcie d' area minima 2, 2 



risultino le falde focali della congruenza di raggi che ne uniscono i punti 

 corrispondenti. Bisognerà per ciò che il raggio variabile di questa congruenza 

 riesca tangente tanto alla 2 quanto alla 2 cioè abbia la direzione normale 

 alle due direzioni 



(X 3 , Y 3 , Z 3 ) , (X3 j Y 3 , Z 3 ) ; 

 i suoi coseni di direzione dovranno dunque riuscire proporzionali alle differenze : 



D<I> DO> D<*> D<*> D# D# 



T Tu ' Uy" Dm Dy dm 



Basterà dunque dimostrare che prese £ , r; , £ in modo da soddisfare 

 le (12), si potrà determinare una conveniente funzione J di u , y in guisa 

 che ponendo 



' \Dy Dm / 



r; = ri -4- ^ | I j 1 2 ) 



; y ^ \Dy dm 7 



1 \Dy lu ) 



questi valori di £, »j , £ soddisfino le (12). Dalle nostre formole precedenti 

 facilmente si deduce che è necessario per ciò e basta assumere 



kW 



