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Dunque le forinole: 



(13) \ ^ = r '+AW^ ll_ ^ Y V 



definiscono la superficie ¥ coniugata in applicabilità della trasformata S e 

 dimostrano che le due superficie minime 2, 2 sono le due falde focali di una 

 medesima congruenza. Poiché inoltre sopra 2, 2 si corrispondono le assinto- 

 tiche, è questa una congruenza di Thybaut. 

 Abbiamo dunque il teorema: 



Se per una deformata qualsiasi S 0 del paraboloide di rotazione si co- 

 struiscono le due congruenze associate, secondo il teorema di Guichard, 

 normali rispettivamente a due superficie d' area minima S, S, le coniugate 

 in applicabilità di queste 2 , 2, convenientemente collocate nello spazio, 

 costituiscono le due falde focali di una congruenza di Thybaut. 



Partendo dalle forinole di Weierstrass per le superficie d' area minima, 

 il sig. Thybaut, ha determinato direttamente tutte le congruenze W, le cui 

 falde focali sono superficie d' area minima (1. e, n. 12-14). Dai risultati di 

 Thybaut segue facilmente la proposizione inversa: 



Ogni congruenza W le cui falde focali siano superficie d' area minima, 

 deriva, colla costruzione precedente, da una deformata del paraboloide di 

 rotazione 



§ 8. 



Le deformazioni infinitesime 

 delle due falde focali di una congruenza di Thybaut. 



Indichiamo ora rapidamente come dalle nostre forinole seguano le altre 

 principali proprietà delle congruenze di Thybaut. Ciascuna falda focale di 

 una tale congruenza W è suscettibile di una deformazione infinitesima nella 

 quale ogni punto si sposta parallelamente alla normale nel punto corrispon- 

 dente all'altra falda Così le componenti dello spostamento che subisce 

 un punto 0 di 2 sono proporzionali a 



X3 , Y3 , Z 3 



e dalle nostre formolo si trova subito che questo fattore di proporzionalità è 

 precisamente la funzione d>, talché le forinole 



x ' = 0>X 3 , y' = 0Y z , z' = <P% 

 (') Lezioni, pag. 300. 



