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integrale primo lineare ed omogeneo; e reciprocamente. (11 primo membro 

 dell' integrale, scritto in forma canonica, coincide col simbolo della trasfor- 

 mazione infinitesima). 



Sorge spontanea la domanda : Agli integrali non lineari corrisponde an- 

 cora qualche carattere gruppale? 



La risposta è affermativa e si applica senz' altro a qualsivoglia sistema 

 canonico 



[ dxi _ 



1 di ' ì>Pi , 

 (S) (i = l,2,..:,n) 



j dpi _ ' !>H 



f dt ~~òxi 



purché non si considerino soltanto trasformazioni puntuali (rapporto alle va- 

 riabili x, operanti per estensioni sulle p), ma più generalmente trasforma- 

 zioni di contatto nelle x,p. Si trova infatti che integrali di un sistema 

 canonico e trasformazioni di contatto nelle x,p, mutanti il sistema in 

 sé, sono in sostanza la stessa cosa. Ad ogni integrale fa riscontro una 

 trasformazione e inversamente. Le funzioni caratteristiche delle trasfor- 

 mazioni (fissando opportunamente un addendo, che rimane a priori indeter- 

 minato) si possono far coincidere coi primi membri dei corrispondenti 

 integrali. 



Il teorema si dimostra in modo assai semplice. Sia 



una trasformazione infinitesima nelle x ,p. Gli incrementi £ , n si suppon- 

 gano funzioni delle x, delle p e di un parametro L , invariabile di fronte 

 alla trasformazione. Risguardando le x , p come funzioni di t , potremo esten- 



dere la Sf alle singole derivate , -~ , e i relativi incrementi si avranno 

 dalle formule 



^ dxj dòxj __ d§j 



dt dt dt 

 j dpi dópi drti 



dt dt ' dt 



Applicata al sistema (S), la trasformazione Sf porge 



(i), { Ut « £ > (i-i.a,.-..) 



( dt ' ~òXì ) 



