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Queste equazioni dovranno essere identicamente soddisfatte, in virtù delle (S), 

 ogniqualvolta il sistema ammette la trasformazione infinitesima óf. 



Introduciamo l' ipotesi che óf è trasformazione di contatto. Le £ e le n 

 sono derivate di una medesima funzione W(x,p,t) ( ! ), a norma delle formule 



e il simbolo óf diventa la parentesi di Poisson (W , /). 

 Le (1) si possono scrivere 



a 



dt 



d 



{-■Ih 



ossia, eseguendo la derivazione e tenendo conto delle (S): 



vw + / H m_ ( w ,35\ = 



Ì 2 W 



che, per note proprietà delle parentesi, equivalgono a 



Da queste apparisce che — - -J- (H , W) dipende dalla sola t. Ora W, fun- 



zione caratteristica della óf, è determinata dalle (2) a meno di una fun- 

 zione additiva di t. Si può sempre disporne in modo che risulti identicamente 



(i") 2E + (H,w) = o. 



È poi chiaro che dalla (1"), facendo cammino inverso, si ripassa alle (1). 

 La (1") è dunque condizione necessaria e sufficiente perchè il sistema 



(') Lie-Engel, Theorie der Transformationsgruppen, voi. II, cap. 14. 



