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Io espongo ora un metodo nuovo e lo applico in questa Nota al caso 

 in cui i due movimenti sono tra loro permutabili: ritrovo così il teorema 

 dell'Adam per i gruppi di traslazioni, e determino poi tutte le superfìcie 

 che generano una famiglia di Lamé con una traslazione, ed una seconda fa- 

 miglia con una rotazione intorno al medesimo asse. 



I. Applicando ad una superficie S 0 un gruppo co 1 di movimenti si ot- 

 tenga una famiglia di Lamé, e sia: 



Hf du 2 -f H| dv 2 -f H* dt* 



la forma che V elemento lineare dello spazio assume per il corrispondente 

 sistema triplo : le superfìcie dedotte da S 0 siano quelle che corrispondono ai 

 diversi valori di t, ed alla S 0 corrisponda il valore zero del parametro. I 

 punti che si trovano situati sulla stessa traiettoria ortogonale hanno tutti le 

 medesime coordinate (u , v) ; così viene a stabilirsi una corrispondenza tra i 

 punti di S 0 e quelli di una superficie generica S f della famiglia. Un'altra 

 corrispondenza si può ottenere considerando il movimento T che conduce S 0 

 nella S t ; sia in questo modo (u x , v x ) il corrispondente su S £ del punto (u,v) 

 su S 0 . Ad uno stesso punto di S 0 si possono dunque far corrispondere con 

 due leggi diverse due punti (u , v) ed (u x , v x ) di S, e si ottiene così una 

 corrispondenza tra punti di una medesima superficie. Questa corrispondenza 

 trasforma in sè stesso il sistema delle linee coordinate ; essa è perciò anali- 

 ticamente rappresentata da equazioni della forma: 



(!) Ui = cp(u , t) ; v x = ip(v , t) 



che per t = 0 dànno u x = u; v x = v. 



Se in entrambe le (1) mancasse il parametro t, esse avrebbero la forma 

 Ui = u ; Vi = v e significherebbero che le traiettorie del movimento sono 

 anche traiettorie ortogonali della famiglia considerata. Questa famiglia si 

 comporrebbe perciò di piani : le altre due famiglie che completano il sistema 

 triplo sarebbero composte entrambe o di cilindri, o di superficie di rotazione. 



Eitornando al caso generale ed interpretando le (1) come le equazioni 

 di una schiera di corrispondenze tutte sulla medesima superficie, è facile ve- 

 dere che tale schiera è un gruppo. Una famiglia di Lamé, che non sia for- 

 mata di soli piani, o di sole sfere, individua un sistema triplo, e perciò se 

 la famiglia di Lamé è trasformata in sè stessa da un movimento, anche il 

 sistema triplo viene trasformato in sè stesso: ne segue che la forma delle 

 equazioni (1) non dipende dalla superficie iniziale S 0 . 



Si applichi ora alla S t un movimento V del gruppo oo 1 di movimenti 

 e si ottenga una superficie S„ in cui il punto (u 2 , v 2 ) corrisponda ad , yj. 

 Sulla S„ si ha una corrispondenza (ito ,v z ; u , v) relativa alla superficie ini- 

 ziale S 0 ed al movimento TV, una corrispondenza (u 2 , v 2 ; u x , v x ) relativa 



