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ad S« ed al movimento V, e la risultante (u 1 , v { ; u,v) è anch' essa conte- 

 nuta nelle equazioni (1). 



Quando la famiglia considerata si compone di piani o di sfere, basta 

 aggiungere la condizione che il sistema triplo sia trasformato in sè stesso 

 dal movimento perchè questo risultato sussista. 



Sono ora da distinguere due casi secondo che il parametro t si presenta 

 in entrambe le (1), od in una sola tra esse. Nel primo caso si ha la forma 

 canonica : 



Ui = u — t ; Vi = v — t 



e le superficie u — v = costante sono invarianti nel movimento. Nel secondo 

 caso si ha la forma canonica: 



Ui = u — t ; Vi = v 



e le superficie v = costante sono invarianti nel movimento. 



Quasi tutte le precedenti considerazioni sussistono se invece dei movi- 

 menti si parla di trasformazioni conformi dello spazio. 



IL Consideriamo una schiera oo 2 di superficie eguali: 



x = x(u ,v,a,b) 

 y = y{u ,v ,a,b) 

 s = g(u ,v,a,b) 



in cui a , b sono i parametri che individuano la superficie, ed u , v le coor- 

 dinate di tutti i punti omologhi; sia: 



fa* df -f di 2 = H? du 2 + HI dv 2 + mdadu-{- m, db du -|- 

 -f- n da dv -f- n : db dv -f- p da 1 -}- pi db 2 -f- qdadb 



onde per la famiglia b = <p(a) : 



dx % -f dy 2 + ds 2 = Jlì du 2 + Hf dv 2 + (m + m 1 da du + 



Se questa è una famiglia di Lamé, deve esser possibile con un cambiamento 

 di coordinate della forma: 



(2) u = U(u x ,a); v = V(v l ,a) 



ridurre la forma (1) a non contenere che i quadrati dei differenziali. Ma la 

 trasformazione (2) dipenderà effettivamente anche dalla funzione <p(a) e dalle 

 sue derivate; sarà perciò del tipo: 



/ d(p d r <p 



/ . d(f d r (p\ 



V = Y { V ^^^ ah da-'dV) 



