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Applicando ad S 0 prima il movimento M ; e poi il movimento M 2 , si ottenga 

 una superfìcie Si su cui la corrispondenza sarà: 



applicando invece prima M 8 e poi M! si avrà su S l la stessa corrispondenza, 

 rappresentata dalle forinole: 



u[ = y>(u' , t) ; v\ = xp{v' , 0 . 



Quindi : 



4>((p(u ,t),v) = (p(d>(u , t) , 0 

 ^(V>(y,*),*) = VW^*0>O- 



D'altra parte è noto che due gruppi oc 1 della varietà ad una dimensione 

 non possono essere permutabili: qnindi i gruppi: 



Ul = (p(u ,t); u' = ®{u , t) 



o sono identici tra loro, od uno tra essi si riduce alla trasformazione iden- 

 tica; lo stesso deve dirsi dei gruppi in v. Se i due gruppi in u fossero iden- 

 tici, e lo fossero pure tra loro i due gruppi in v, i movimenti non sarebbero 

 distinti e formerebbero un unico gruppo oo 1 . Ne segue che una almeno delle 

 forinole di trasformazione deve ridursi alla identità; ciò che può esprimersi 

 nel seguente modo: 



Se una superficie può generare due famiglie di Lamé con due 

 movimenti diversi, permutabili tra loro, in uno dei due sistemi tripli una 

 famiglia si compone di superficie invarianti nel movimento. 



Questo risultato ed il ragionamento che vi conduce sussistono anche 

 sostituendo alla parola ' movimento ' la locuzione ' trasformazione conforme 

 dello spazio '. 



Sulle superficie invarianti consideriamo le traiettorie del movimento, e 

 da tutti i punti di una di tali linee conduciamo le traiettorie ortogonali 

 della famiglia : le superfìcie che così si ottengono incontrano ortogonalmente 

 la famiglia delle superfìcie invarianti, ed è evidente che quando il movimento 

 è una rotazione od una traslazione esiste una terza famiglia di superfìcie 

 ortogonali alle due precedenti. In un tale sistema triplo le traiettorie del 

 movimento sono traiettorie ortogonali e la terza famiglia si compone quindi 

 di piani: è questa una soluzione del problema che potremmo dire triviale. 



Resta solo l'ipotesi che la famiglia di superfìcie invarianti possa far 

 parte di due diversi sistemi tripli ; ma in tal caso essa si compone di piani 

 o di sfere. Se il movimento è una traslazione, le superfìcie invarianti sono 

 piani paralleli ad una data direzione, e le altre due famiglie del sistema 

 triplo sono composte di superfìcie modanate; se il movimento è una rota- 

 zione intorno ad un asse, le superfìcie invarianti sono sfere coi centri su quel- 



