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l' asse e le altre due famiglie del sistema triplo sono composte di superficie 

 di Joachimstal. 



Si hanno dunque i seguenti teoremi : 



Se una superficie può generare due famiglie di Lamé con due 

 tradazioni, essa è una superficie modanata a sviluppabile direttrice ci- 

 lindrica. 



Se una superficie può generare due famiglie di Lamé con una 

 traslazione ed una rotazione intorno al medesimo asse, essa è o una su- 

 perficie modanata a sviluppabile direttrice cilindrica, o una superficie di 

 Joachimstal. 



Sui teoremi analoghi che potrebbero stabilirsi pei gruppi permutabili 

 di trasformazioni conformi dello spazio, mi riservo di tornare in altra occasione. 



III. Dopo i risultati ottenuti nel numero precedente, la effettiva deter- 

 minazione delle superficie cercate non presenta alcuna difficoltà e solo dei 

 calcoli lunghi. Il Lévy (') ha già eseguita una parte di questi calcoli: egli 

 dopo aver osservato che le superficie modanate a sviluppabile cilindrica pos- 

 sono generare per traslazione una famiglia di Lamé, si è proposto di deter- 

 minare quelle superfìcie modanate che generano una famiglia di Lamé anche 

 per rotazione intorno all'asse di traslazione. Oltre le sfere, che insieme ai 

 piani possono considerarsi in simile questione come soluzione triviale, egli 

 ha trovato quelle superficie modanate di cui la sviluppabile direttrice è un 

 cilindro circolare. Ponendo invece la condizione che tali superfìcie debbano 

 generare una famiglia di Lamé per una traslazione ortogonale alle genera- 

 trici del cilindro direttore, si otterrebbero solo piani, sfere e superfìcie 

 cilindriche. 



Tali risultati possono ottenersi del resto assai semplicemente con consi- 

 derazioni geometriche. Lo mostrerò ora cercando le superfìcie di Joachimstal 

 che generano una famiglia di Lamé per traslazione lungo l'asse dei piani 

 di curvatura. 



Se in un sistema triplo una famiglia si compone di superficie di Joa- 

 chimstal con lo stesso asse o, vi è una seconda famiglia per le superficie 

 della quale le linee di curvatura di un sistema sono tutte in piani passanti 

 per o ; tale famiglia si compone dunque di superfìcie di Joachimstal, e la 

 terza famiglia si compone di sfere coi centri sull' asse o. Se inoltre un tale 

 sistema triplo deve trasformarsi in sè stesso per traslazione lungo F asse o , 

 bisogna che le sfere siano di egual raggio ; è chiaro che questa è anche con- 

 dizione sufficiente ; nel senso che una qualunque superficie di Joachimstal in 

 cui le linee di curvatura sferiche sono tutte su sfere di egual raggio può 

 generare per traslazione e rotazione due famiglie di Lamé. 



(') L. Lévy, Sur les nyMèmes triplement orlhogonaux (Journal de Matti. 1S92). 



