Quest'ipotesi è certamente soddisfatta se, nell'insieme dei punti interni 

 a C, la (1) converge uniformemente alla F(a;), e questa è limitata. Può, 

 però, mancare la convergenza uniforme ed essere soddisfatta la (2), anche 

 nel caso di un campo C semplicissimo (circolare, per es.). 



Osservato ciò, consideriamo un punto x interno a C . Esiste un numero 

 positivo R tale che il cerchio (x , R) (') sia costituito tutto di punti interni 

 a C . In tutto questo cerchio, contorno compreso, è verificata la (2), e quindi, 

 come è ben noto ( 2 ), in ogni cerchio (x ,r) (0 < r < R) — circonferenza 

 compresa — la (1) converge in modo uniforme alla funzione ~F(x). 



Inoltre, poiché in (x , R) la ¥(x), come funzione analitica regolare, non 

 può avere che un numero finito di zeri, in e su (x , r), per r abbastanza 

 piccolo, non esisteranno zeri di ¥(x) distinti da x; e potrà determinarsi 

 un numero positivo m in modo da rendere soddisfatta la disuguaglianza 



per ogni x della circonferenza G r di (x , r). Da ciò, e dalla convergenza 



uniforme di (1) su C r , si ha, preso un e < — e piccolo a piacere, per ogni 

 n maggiore di un certo n, 



\F(x)-f n (x)\<* , \f„(x)\>^ 



su tutto C r . Segue, poi, dalla convergenza uniforme di (1) in ogni cerchio 

 interno a (x , R), la convergenza uniforme di 



f[(x) , flx) , ... , f' n (x) , ... 

 alla F'(cc), e quindi la disuguaglianza 



\y(x)-f'n(x)\<S 



per ogni n maggiore di un certo n e per ogni x di C r . Dalle disuguaglianze 



( 71 



precedenti si deduce, per ogni n^>] T e per ogni x di C r , 



n 



V'(x) f' n (x) 

 V(x) f n {x) 



\F'(x) F(a) - f n (x) F(aQ| + *\W{z)\ (1 W\ 

 ^ F(x)f n {x)\ ^ \m~T~m 2 )' 



dove M r indica un numero positivo maggiore del massimo modulo di F'(x) 

 su C r . Poiché s è piccolo a piacere, la disuguaglianza precedente porta la 



f'ix) W(x) 



convergenza uniforme di -f~\ a ( su tutto C r , e quindi l'uguaglianza 



]n\pC) E \Xj 



(3) lim j-ffM dx= j^cm dx , 



2m J Cr fn(x) 2m J Cr F(x) 

 i 1 ) Vale a dire, di centro x e raggio E . 



( a ) Osgood, Note on the functions ecc., Annals of Mathematics, second series, 

 voi. Ili, n. 1. 



