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Indichiamo, ora, con E l'insieme degli zeri delle funzioni (1), e sup- 

 poniamo che x non sia un punto limite di E . Ponendo r soddisfacente alle 

 condizioni dette ed all'altra che in e su (x,r) non esistano punti di E, 

 avremo 



—. f ^\dx = 0 (n=l,2,...) 



m Jc r fn{x) 



e quindi, per la (3), 



2nÌ Jc r fn{x) 



F'(cc) 



2ni J Cr F(x) 



dx = 0. 



Risulta dunque che x , non essendo punto limite di E , non può essere uno 

 zero di F(x). 



Sia, invece, x punto limite di E. Per infiniti valori di n è, allora, 



i r fM 



e quindi, per la (3), 



, dx _> 1 , 



2m hrfn\X) 



-f 



Ini J Cr 



1 dx > 1 , 



2ni Jc r F(x) 



Se ne deduce che x è uno zero di F(^). Ma si può dire di più. Poiché 



_i_ c .m d x e J_ f lM dx 



2niì Cr fn(x) 2ni) C7 .¥(x) aXì 

 per ogni n^>n, sono numeri interi positivi, l'uguaglianza (3) porta l'altra 



2ni )or fn{x) 2ni J Cr F(x) 



per ogni n maggiore di un certo N . Dunque, per ogni n > N , tutte le 

 f n {x) hanno dentro G r un numero di zeri uguale all'ordine dello zero x di 

 P(cc); e, poiché r può farsi piccolo a piacere, possiamo dire che l'ordine 

 dello zero x di ~F(x) è dato dal numero delle radici di f n (x) che, al ten- 

 dere di n all'infinito, tendono ad x. 



3. Si può notare che, in quanto si è detto al numero precedente, non 

 si è sfruttata appieno l' ipotesi (2). Per le nostre conclusioni basta fare la 

 ipotesi che per ciascun punto x , interno a C , si possano determinare due 

 numeri positivi M^,R^, tali che si abbia, per tutti gli x di (x , R-^), 



(4) l/UaOKM* (n = 1,2 ,...). 



Si può, poi, aggiungere che i risultati ottenuti continuano a sussistere 

 anche se quest' ultima ipotesi non è verificata in punti interni a C isolati, 

 ossia in un insieme J di punti interni a G , tale che nessuno dei suoi punti 

 limiti sia interno a C medesimo. Detto, infatti, x un punto di J, sia (x , R) 

 un cerchio tutto costituito di punti interni a C, e tale che non contenga, 



