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nè internamente, nè sul contorno, altri punti di J distinti da x. Se, allora, 

 r, è un numero positivo minore di K, nessuno dei punti della corona cir- 

 colare (Ì , r, , R) appartiene ad J. In tutta questa corona, contorno compreso, 

 è, perciò, verificata la (4); e, poiché trattasi di un insieme chiuso, per un 

 noto teorema di Borei, con un numero finito di cerchi (x , R^) si ricopre 

 tutta la corona. E, se si indica con M il massimo dei numeri corrispon- 

 denti ai cerchi (x , R*) adoperati, si ha 



I/.WKM (* = i,2,...); 



in ogni punto della corona detta; se ne deduce che, internamente ad essa, 

 la (1) e la f[{x) , f' s (x) , ... , f' n [x) , ... , convergono in modo uniforme rispet- 

 tivamente a F(cc) e ¥'(x). Si può, quindi, stabilire la formola (3) con tutte 

 le sue conseguenze. 



Concludendo, possiamo enunciare la seguente proposizione: 

 Alle ipotesi del n. 1 si aggiunga l'altra cine, ad eccezione al più di 

 un insieme J di punti isolati, per ogni punto x interno a C si possano 

 determinare due numeri positivi, M s , R* , tali che si abbia, per tutti 

 gli x di (x , R-^) 



| /"„(*) |<M« (« = 1,2,...). 



Allora, affinchè un punto X, interno a C, sia uno zero di ¥(x), è neces- 

 sario e sufficiente che X sia un punto limile dell'insieme degli zeri della 

 funzione (1). Inoltre, V ordine dello zero X di F(x) è dato dal numero 

 delle radici di f n (x), che, al tendere di n all'infinito, tendono ad X. 



4. Se non facciamo nessuna ipotesi sul modo con cui le funzioni (1) 

 convergono alla F(oj), che cosa possiamo rispondere alla domanda che ci 

 siamo fatta al n. 1 ? La risposta, nel caso generale, sembra che non si possa 

 dare. Possiamo, però, affermare qualcosa di concreto limitandoci a conside- 

 rare classi speciali di funzioni f n (x). Supponiamo, dapprima che le f n (x) siano 

 funzioni razionali intere a radici tutte reali : poniamo 



f n {x) — G n (x — a nl ) (x — a n2 ) ... (x — a„ mn ) . 



Vogliamo dimostrare che se x — interno a C — non è punto limite di E , 

 non può essere uno zero di F(a;). 



Supponiamo, in primo luogo, che sia F(x) = 0 e x — u -f- iv con 

 v =j= 0. Per la convergenza della (1), preso un e piccolo a piacere, potremo 

 determinare un n tale che, per ogui n > n sia 



I IO- 



Ponendo x = u -f- ir, abbiamo 



| f n ( x ) | = | C„ | ~ a nl f + r 2 ( - \{U - a nmn f , 



