e quindi, per ogni x' — u + iv, con |i'|<|v| 



(5) \fn(x')\< |/«(tf)|< e (n = n + 1 , n + 2 , ...). 



Siccome ^ è interno a C , esisterà un segmento, avente per estremi x e 

 x' = % -f- eV, con | v'|< | v\ , tutto interno a C . Per ogni x' di tal segmento 

 sarà verificata la (5) e si avrà, per la convergenza di (1), 



Poiché e è piccolo a piacere, si avrà in tutto il segmento detto 

 il che è assurdo. 



Supponiamo, ora, che sia ¥(x) = 0, con x reale. Preso e piccolo a pia- 

 cere, potremo anche qui determinare un n a partire dal quale sia 



(6) \fn{x)\<e. 



Siccome, poi, x non è punto limite di E, potremo determinare un in- 

 tervallo (a , b) contenente nel suo interno il punto x e tale che in esso 

 cadano punti di E, solo in numero finito. Prendendo, allora, un N abbastanza 

 grande, potremo far sì che, per ogni n > N , f n (x) verifichi la (6) e non si 

 annulli mai in (a , b), estremi compresi. 



Il modulo di f n (x) {n > N) avrà, perciò, in (a , b) , al più un sol punto 

 di massimo; e, quindi, in uno almeno dei due intervalli (x , a) , (x , b) , 

 , > N) sarà sempre decrescente. Segue che in uno almeno dei due 

 intervalli detti \f n (%)\ sarà, per infiniti valori di w>N, sempre decrescente, 

 vale a dire, per la (6), sempre minore di e. In tutto quest'intervallo sarà, 

 allora, | F(x) |< e ed anche ¥(x) — 0 : cosa assurda. 



È dunque completamente dimostrato il nostro asserto. 



Una facile generalizzazione del ragionamento precedente prova che 

 se le (1) sono funzioni intere di genere zero, aventi tutte le radici 

 disposte su una medesima retta, condizione necessaria affinchè un punto x, 

 interno a C, sia uno zero di F(^-), è che x sia punto limite deW insieme 

 degli zeri delle f n (x). 



La condizione trovata, oltre che necessaria, è anche sufficiente? Non 



pare. 



5. Siano, ancora, le f n (x) funzioni razionali intere. Se tutti gli zeri 

 delle f n (x) sono, rispetto ad una retta del piano complesso, tutti da una 

 medesima parte (possono anche essere sulla retta stessa), allora il modulo 

 di f n (x) va diminuendo quando da un punto del semipiano che non contiene 

 zeri di f n {x) si va a cadere perpendicolarmente sulla retta considerata. Ei- 

 petendo un ragionamento fatto al n. 4 si può, perciò, concludere che nel 

 semipiano a cui non appartengono gli zeri delle f n (x) non possono esistere 



Eendiconti. 1910, Voi. XIX, 1° Sem. 2 



