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Indicando con p B e p c i rispettivi valori costanti di p in B e in C 

 avremo 



p = Pb in B , 



(5) 



( P = p c in C . 



In A, dove ha luogo il movimento, la W(oòy) (funzione di corrente) deve 

 soddisfare alla (2) ; di più sopra 2 e /i, trattandosi di linee di flusso, la «P 

 deve assumere valori costanti, com'è ben noto. 



Fissiamo, in particolare il valore zero della costante su X, ed il valore 

 costante q sopra fi, si dovrà avere 



(6) 



*P = 0 sopra X , 

 V* = q sopra fi ; 



q in tal guisa rappresenta la portata della corrente. 



In quanto al comportamento della pressione p al contorno del campo A , 

 manifestamente devono essere soddisfatte le relazioni seguenti: 



(7) 



^ P=Pb sopra X , 

 ( p = p 0 sopra fi, 



ossia, per le (4) e (3), la (Atpy deve assumere valori costanti sopra X e fi. 



Le (6) e (7) esauriscono tutte le condizioni ai limiti. 



Riassumendo il problema è ricondotto alla determinazione di una fun- 

 zione regolare W{x , y) che soddisfaccia in A alla (2), sul contorno X-j-fi alle 

 (6), e tale di più che la ^Axpy assuma valori costanti sopra X e fi. 



Se le linee libere X e fi fossero preventivamente assegnate riescirebbe, 

 in generale, impossibile trovare una tale funzione «P per esuberanza di con- 

 dizioni ai limiti. 



Per convincersene basta pensare al caso di una corrente irrotazionale; 

 in tal caso la (2) si riduce alla A^ = 0. 



2 



Ora le (6)a ssegnano i valori che la <P deve assumere sul contorno 

 del campo A, tali condizioni assieme alla A*P = 0 individuano (a meno 



2 



di una costante additiva), com'è ben noto, una funzione regolare <P; ma 

 non c' è nessuna ragione da ritenere che la «P così determinata debba sod- 

 disfare all'altra condizione relativa al (A^y • 



Ne segue che l'esistenza di una funzione *P, integrale della (2) e sod- 

 disfacente a tutte le condizioni ai limiti, è subordinata ad una scelta con- 

 veniente delle linee libere X e fi. 



