— 13 — 



Si potrà sempre determinare due linee libere X e fx in modo da ren- 

 dere possibile la esistenza di una *P soddisfacente a tutte le condizioni su 

 esposte? Di tale questione intendo di occuparmi prossimamente. 



Per ora mi limiterò a mostrare, per dare un esempio di effettiva esi- 

 stenza di soluzioni, che la risposta è affermativa nel caso in cui le due 

 linee 1 e jj sono circonferenze concentriche e il campo A è la corona cir- 

 colare da esse definita. 



2. Sia r = \'x t + y* la distanza di un generico punto (x , y) del piano 

 dall'origine delle coordinate. Immaginiamo che le linee l e fi coincidano 

 rispettivamente colle circonferenze r = a,r — b, essendo a < b e di più 

 che la *P dipenda dalla sola r. Allora le linee di corrente sono circonferenze 



concentriche alle estreme, ed il valore assoluto della velocità è (A^| . 

 In tale ipotesi è 



v 1 ~ix r ^y r 



avendo indicato con un apice la derivazione rispetto ad r. Le (8) rendono 

 identicamente soddisfatta la (2) qualunque sia la *P(r). Inoltre, essendo la <P 

 costante assieme ad r, si può dire che su ciascuna delle linee X e p,, *P ha 

 valore costante e diverso dall'una all'altra. Infine (&*py = W* , risultando 



funzione di r, è costante assieme a questa e quindi è costante tanto su A 

 quanto sopra fi. Si può concludere che una qualsiasi *P(r) soddisfa a tutte 

 le condizioni di cui al n. precedente. 



La (4), per le (8), ci dà la pressione in ogni punto di A . Il problema 

 così è completamente risoluto, ed il grado di arbitrarietà è rappresentato 

 dalla funzione 



Per trattare un caso concreto, immaginiamo ad es. che il moto della 

 corrente sia irrotazionale. 



In tal caso dovendo essere la *P(r) armonica in A, si avrà 



r dr ( r dr ) 



da cui, integrando, si ricava 



(9) «P = log [drC,], 



con Ci e C 2 costanti arbitrarie. Tali costanti si possono valutare in modo 

 che *P soddisfaccia alle (6), per il che basta manifestamente prendere 



d = a~ c * , q = log [Ci b C g ] ; 



