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Le differenze Y 2 — Z y , Z^ — X- , X y — Y x non sono quindi nulle, 

 come nella teoria ordinaria, ma si ha 



i(Zy — Y*) = r— , i(X 2 — Z a ) = — , — a^) = 



e inoltre 



i-(Z, + T,) = ^ i(X, + Z,) = ^ ,(T, + X 2/ ) = ^. 



c'«/z dSa; ^.X/y 



È questa, a nostro avviso, la forma più semplice che può assumere la 

 teoria delle tensioni elastiche e dell'equilibrio quando si ammetta che la 

 energia venga a dipendere anche dalle componenti di rotazione. 



IL Si presenta ora la questione di determinare le varie espressioni che 

 spettano alla funzione W (per la quale si assume, per ben note ragioni, 

 una forma quadratica) quando il materiale elastico ammette degli elementi 

 di simmetria. 



Non tratterò la quistione in generale, sebbene essa non presenti alcuna 

 difficoltà teorica; mi limiterò, per brevità, a considerare il caso che esista 

 un asse di isotropia, per. dedurne poi l'espressione di W, che è la più in- 

 teressante, quella corrispondente al caso dell' isotropia completa. 



Le formole di trasformazione per le sei componenti di deformazione, 

 quando gli assi coordinati ruotano di un angolo a intorno all'asse delle z, 

 si possono scrivere nella forma seguente, da me usata in varie occasioni (') 



(a) x'x — y'y^ ix'u = e ìia {xx — Vy+ 



(b) x' x + y' y = x x + y y 



(C) &'x + Ì2y '= + Ùy) Ì 1 



(d) z' z = z z 

 mentre per quelle relative alle rotazioni si ha 



(e) ré + ir'y = e ia (r x + ir y ) 



(f) r' z = r 2 . 



Si decompongono così in tre sostituzioni ortogonali di tre variabili sotto 

 forma canonica. La W dovrà, nel caso della isotropia assiale, essere formata 

 linearmente colle espressioni quadratiche invariantive per una rotazione ar- 

 bitraria attorno all'asse delle z, posto di scegliere questo asse come asse 

 di isotropia. Tali espressioni si ottengono eliminando « fra le relazioni pre- 

 cedenti e le loro coniugate. Si trovano così, come è ben noto, cinque inva- 



(*) Sul potenziale elastico, Annali di Matematica, 1901. 



