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Noi possiamo considerare questo resultato (valido per movimenti continui 

 e discontinui) come l'espressione più generale del paradosso di D'Alembert. 



8. Esamineremo ora un caso particolare di movimento della massa liquida. 



Si abbia, al tempo t, una superficie w di discontinuità, che divida lo 

 spazio S in due regioni T l5 T 2 . La regione T 1 sia limitata dalla superficie 

 chiusa a' (che limita, con <r, V intero spazio S), da « , e da una parte <s y 

 della superficie e. Diciamo <r 2 la rimanente parte di <s. Nella regione T x 

 il moto sia irrotazionale. Nella regione T 2 sia (al tempo t), u = v = w = 0. 

 Cerchiamo in questo caso l'espressione di A. 



n i 



Come faccia positiva di co assumeremo quella che è rivolta verso T,. 

 Mancando i vortici (£ = r, = £ = 0), sarà, in tutto lo spazio S , D = 0; 

 quindi, per la formula (4): 



= Q {— J\u da + j^Hrfo» j 



Poiché al tempo t le particelle di T 2 sono in quiete, sulla parte tf 2 di a 

 sarà U = 0 ; e sulla superficie co , N = 0 , TJ' =-,0 , e perciò 



liti 



ove U denota il semi-quadrato della velocità delle particelle liquide attigue 

 ad co . che appartengono a T x . Avremo dunque : 



■ A -»(-.C Dli ''-I n £*•)'■ 



ovvero, chiamando Sì V intera superficie chiusa formata da w e a ÌL , e ricor- 

 dando che sopra tfj ~ è uguale a 1: 



J il Òli' 



od anche 



A 



V'adii, 



sì in 



formula che si riduce alla (3) della Nota I quando Sì venga a coincidere 

 con tr: quando, cioè, il moto sia continuo e irrotazionale in tutto lo spazio S. 

 Rendiconti. 1910. Voi. XIX, 1° Sem. 



