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Nella presenta Nota ci permettiamo di tornare sull'argomento per pre- 

 sentare un nuovo criterio, valevole pel caso generale, che, se non erriamo, 

 ci sembra più elementare. 



2. Premettiamo il seguente problema. Essendo dato nell'intervallo ab 

 un certo numero m di funzioni Ui(x) , u 2 {x) , ... , u m (x) linearmente indipen- 

 denti, atte all' integrazione insieme ai loro quadrati in tutto l' intervallo, e 

 corrispondentemente m costanti Ci , c Y , — , c m determinare fra tutte le fun- 

 zioni che soddisfano simultaneamente alle equazioni 



(2) 



f f(x) u r {x) dx = 



J a 



(r= 1 , 2 , ... ,m) 



quella per cui V integrale I = j f 2 (x) dx è un minimo. 



Secondo i principi del calcolo delle variazioni, otteniamo, uguagliando 

 a zero, la variazione prima dell'integrale I e tenuto conto della (2) 



f (f{x) — l 1 u y (x) l m u m (x)) Sfdx = 0 , 



J o, 



tale relazione dovendo aver luogo qualunque sia òf dovrà essere 



f{x) = Xyu^x) -\ 1- l m Um{x) , 



da cui eliminando A, , ... , X m per mezzo della (2), dopo aver posto 



ars = f u r (x) u s (x) dx , 



si ottiene 



(3) 



f(x) = - 



«1 



l 



■ 0-\m 



Ci 





• 0"mm 



Cm 



Ui 





. u m (x) 0 





• • 



... flim 









... &mm 





È facile vedere che l'espressione precedente rappresenta effettivamente 

 una soluzione delle (2), il denominatore essendo diverso da zero, poiché le 

 Ui(x) ... u m (x) sono linearmente indipendenti ('). 



(*) Vale la pena di enunciare a parte il risultato seguente, che sostituisce con van- 

 taggio il criterio dato dall'annullarsi del Wronskiano, e che si dimostra molto facilmente : 



