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Ove la condizione di risolubilità non risulti soddisfatta, la espressione 

 precedente non ha più alcun significato, essendovi in essa qualche termine 



che assume la forma ^ . 



4. Ciò premesso, sia f 0 (x) una soluzione dell'equazione integrale (1), 



essendo f f Q 2 (x) dx <C A . Poniamo 



J a. 



«r(aj)= f y r ~ i Y(x,y)dy 



(4) 



a 



c r = y r ~ l g{y)dy. 



La funzione f 0 (x) soddisfa al sistema di equazioni 



f 6 (x) u r {x) dx = c r r == I ; 2 , ... , m 



r 



qualunque sia m, onde, costruite le r m ' e le B m ' secondo i numeri prece- 

 di ^ p "l 



denti, abbiamo X -w-r <C A , qualunque sia m ; e quindi la serie X. 



converge. La convergenza di quella serie è quindi condizione necessaria per 

 la risolubilità dell'equazione (1). 



5. Mostriamo che è sufficiente. Poniamo 



(5) v r {x) = 



Cl\\ ... dir—i 2li(^00^ 



u r (x) 



e conveniamo, se v p è identicamente nulla, q .> 1 , di sopprimere entro v r , 

 r £> g, la ^ es4,no linea e la £ Mima colonna : diciamo Vr{%) le funzioni che così 

 si ottengono. 



Abbiamo 



I 

 I 



6 



W|/ (#) w»(sc) ^ = 0 , v <^ fi 



b 



v^(cc) vj(x) dx = 0 v 4= fi 

 = Bj/ v = fi. 



Poniamo ancora 



(6) w ^ = +y17 



Questa espressione non ha significato quando è B[j.' = 0, assumendo allora 



0 

 0 



0 



la forma - : perciò conveniamo di scartare quelle delle (ce); fehé sono =0, 



