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e di limitare alle rimanenti la posizione (6), per queste si ottiene 



f w^x) Wv(x) dx = 0 , p, 4= v 



= 1 , IjL = V 



r, 



Per un noto teorema di Riesz la serie J^-^V essendo convergente, 



v- 



esisterà una funzione f(x) per cui 



f{x)w v .{x)dx= -§= 



u a 1/ Da 



qualunque sia l'indice di ic^x), e quindi avremo 



f f(x) v^(x) dx = iy , 



J a 



relazione che vale anche per quelle delle v^{x) che fossero identicamente 

 nulle, riducendosi in quel caso alla identità 0 = 0. Quella relazione sussiste 

 quindi per tutti i valori di fi, onde sostituendo per jy e v^{x) le loro 

 e.pressioni, si ottiene 



f f(x) llr(x) dx = C r 



J a 



qualunque sia r. Posto quindi 



%) = &{y) — f f{x) V(» ,y)dx, 



J a 



abbiamo 



J"b rb rb 



y r ~ l h{y) dy = if- 1 g(y) dy — f{x) u r {x) dx = c r — c r = 0 

 a J a J a 



qualunque sia r , da cui si conclude h(y) = 0. 



Conclusione. — Condizione necessaria e sufficiente perchè esista una 

 soluzione dell' equazione (1) atta all'integrazione insieme al suo quadrato 



p '2 



nell'intervallo ab, è che la serie 2 -^j- sia convergente. 



% 



Se quella condizione è soddisfatta JP/ , T 2 ' , ... , jy , ... , rappresentano 

 i valori degli integrali 



rb rb 

 f(x)vi'(x)dx, I f(x) v 2 '(x) dx , ... , I f(x) v^'(x) dx , ... 



(*) Ueber ortogonale Funcktionensy sterne, Nachr. zu Goti, 1907. 



