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Poiché il problema elastico si sa ormai risolvere per campi molto ge- 

 nerali, si conclude che per tali campi sarà senz'altro risolto anche il pro- 

 blema idrodinamico enunciato. Quest' ultimo problema, limitato però al solo 

 campo interno a cr, è pure stato risolto recentemente da A. Korn con 

 procedimento diretto, analogo a quello cbe egli stesso aveva impiegato pre- 

 cedentemente per l'integrazione della doppia equazione di Laplace. La pro- 

 prietà che io dimostro qui, elimina quindi questi nuovi calcoli, bastando, 

 allo scopo, le forinole del problema elastico. 



Per maggior chiarezza richiamo dapprima (n. 1) un procedimento, assai 

 semplice, dovuto al prof. Marcolongo ( 2 ) col quale, da soluzioni particolari, 

 note già da molto tempo, delle equazioni indefinite dell'equilibrio dei corpi 

 elastici isotropi, si deduce un sistema di tre equazioni integrali, che per- 

 mette di risolvere il problema dell'equilibrio elastico per dati spostamenti 

 superficiali. 



In questo lavoro mi valgo della recente teoria delle omografie vetto- 

 riali ( 3 ), che rende i calcoli e la esposizione più agile, breve e nitida; in 

 conseguenza, essendo del tutto eliminate le coordinate, invece di un sistema 

 di tre equazioni integrali, si trova una sola equazione integrale di seconda 

 specie, il cui nucleo è un'omografia vettoriale. A tale equazione si possono, 

 del resto, applicare le note proprietà delle ordinarie equazioni integrali. 

 Dalle formole che ottengo per il problema elastico, seguono immediatamente 

 (n. 2) quelle che dimostrano la proprietà enunciata. 



1. Equazioni del problema elastico. — Sia S un solido elastico iso- 

 tropo, limitato da una superficie a. Se diciamo s il vettore (infinitesimo) 

 che rappresenta lo spostamento subito da un punto qualunque del solido, 

 in una sua deformazione, la condizione di equilibrio elastico di S , nell'assenza 

 di forze esterne, è rappresentata dall'equazione (0. v., pag. 76): 



(1) A's + A grad div s = 0 , 



ove k è una costante. 



Orbene, è facile vedere che, se si introduce il parametro: 



i k — 



À ~k-t-2' 



(') Korn, Allgemeine Lósung des Problems kleiner, stationàrer Bewegungen in 

 reièenden Flussigkeiten. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXV, 1° se- 

 mestre 1908. 



( a ) Marcolongo, La teoria delle equazioni integrali e le sue applicazioni alla Fi- 

 sica-matematica, Rendiconti di questa Accademia, serie 5 a , voi. XVI, 1° semestre 1907. 



( 3 ) Tale teoria trovasi egregiamente sviluppata, con varie interessanti applicazioni, 

 nel recentissimo volumetto Omografie vettoriali, ecc. (6. B. Petrini, Torino, 1909), dei 

 proff. Burali-Porti e Marcolongo. Nelle citazioni, indicherò questo libro con [0. v.). 



