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Orbene, se a è un vettore costante, e si conservano le notazioni pre- 

 cedenti, si soddisfa alle (7), (8) assumendo : 



( 9 ) v = 2a — — — gradp div P - , 



dn dn B r 



(10) ^=-4div p ya^- 



Infatti, la (9) si ottiene dalla (2) per 4 = 1; perciò dalle (3), (10) segue 

 evidentemente la (7), e dalla (4) la (8); c. d. d. 



Se v 0 è un vettore funzione finita e continua dei punti M di e, è 

 chiaro che le espressioni 



{U) v = *J. V ' Tn d ° ~ ^ X dn~ —dT- v » d « ■ 



d- 



(12) ^ 1= _l diVp ^ Vo ^^, 



soddisfano pure alle (7), (8) ('). 



La (11) è un caso particolare della (5), perchè si deduce dalla (5) 

 per A = 1 , perciò si conclude pm-e che sussiste per v ancora la (6) ove 

 4 = 1, quindi la soluzione v delle (7), (8) che nei punti Q di e coincide 

 con un vettore dato v(Q) ( 2 ), si deduce dalla soluzione s del problema 

 dell'equilibrio elastico per dati spostamenti superficiali, ponendo in essa 

 4 = 1 ( 3 ). Tale valore di l non è, com'è noto, un autovalore per la (6). 



Essendo così determinato v, si potrà ricavare p x dalla (7), perchè è 

 verificata la condizione d'integrabilità espressa da rotA'v = 0; ovvero, 

 dopo aver ricavato v„(Q) dalla (6) per 4 = 1, si otterrà poi pi dalla (12). 

 Più semplicemente ancora, basterà applicare la formola: 



pi = — lim (k div s) , 



che si desume dal confronto delle (7), (8), (1). 



( x ) Ciò si desume anche dalle ultime due formole della mia Nota citata. 

 O Trattandosi di un campo finito S, il vettore v(Q) deve soddisfare alla condizione 

 seguente, che si ricava dalla (8), mediante il teorema della divergenza: 



V X H da = 0 . 



Invece per il problema esterno, questa condizione non occorre. 



( 3 ) Una verifica di questa proprietà si ha, nel caso della sfera, dalle formole sta- 

 bilite nella mia Nota citata. 



