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La stessa proprietà vale per il problema idrodinainico esterno. 



Giova notare che — come mi fa gentilmente osservare il prof. Levi- 

 Civita — se non si tenesse conto di condizioni ai limiti, si riconoscerebbe 

 immediatamente che l'integrazione delle equazioni indefinite (7), (8) può 

 farsi dipendere dall'integrazione dell'equazione indefinita (1). Basta infatti, 

 per ogni integrale s della (1), introdurre una funzione (p tale che Ay = divs, 

 allora ponendo: 



V = S — grady , Pi= — (A+1)ASP, 



le (7) , (8) risultano soddisfatte. 



Osservazione. — Anche la soluzione della doppia equazione di La- 

 place, che assume, colla sua derivata normale, dati valori al contorno, si 

 può ottenere come caso particolare del problema elastico considerato nel n. 1: 

 basta precisamente porre X = — 1, ovvero k — — 1, come ho mostrato già 

 una decina d'anni addietro ( l ) ; in tal caso bisogna però aggiungere alla (1) 

 la condizione Adivs = 0, che per &4= — 1 è conseguenza della (1). In- 

 fatti, ponendo s = grad u , ove u è una funzione da determinarsi, si ha 

 div s = Au , onde si conclude che u soddisfa alla doppia equazione di La- 

 place AA u = 0. Conoscendo poi s per i punti del contorno, risulterà nota 

 (a meno di una costante) la u nei punti del contorno stesso, e poi anche 

 la derivata normale di u , che vale N X s . 



Meccanica — Sopra le correnti liquide spontanee ( 2 ). Nota 

 di Umberto Cisotti, presentata dal Socio Tullio Levi-Civita. 



Nella Nota precedente ho dato un esempio di effettiva esistenza di 

 correnti liquide spontanee, immaginando che il moto liquido piano avvenga 

 in una corona circolare e sia simmetrico rispetto al centro. 



Nella presente Nota mi propongo di mostrare che l'esempio addotto 

 rappresenta l'unica soluzione possibile che corrisponda ad una corrente spon- 

 tanea irrotazionale, che si svolge in un campo anulare (del tipo « corona 

 circolare » dal punto di vista della connessione). 



1. Nel caso irrotazionale il problema è condotto alla ricerca di due 

 linee libere X e n , e di una funzione <P {x , y) (funzione di corrente), ar- 

 monica nello spazio A compreso tra 1 e /« (vedi la figura della Nota I), e 



tale che sia *P = 0 sopra l e «P == q sopra fi , e di più che il A<P 



i 



H Boggio, Sull'equilibrio delle membrane elastiche piane, n. 8, Atti della E. Ac- 

 cademia delle Scienze di Torino, voi. XXXV, 1899-1900. In questa Nota ho considerato 

 solo il caso del piano, ma quelle considerazioni sono valide anche per lo spazio. 



( a ) Cfr. questi Kendiconti Nota I, pag. 10. 



