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Matematica. — Su la continuità e la derivabilità di un in- 

 tegrale rispetto ad un parametro. Nota di Leonida Tonelli, 

 presentata dal Socio S. Pincherle. 



Sia f{x,y) una funzione di x e y data in un campo C, che dapprima, 

 per semplicità, supporremo rettangolare e limitato dalle rette x = a , x = b' 

 (a < b') , y = c , y = d , (c < d). Supponendo la f(xy) linearmente integra- 

 bile 0) rispetto ad x in tutto C, l'integrale 



(1) Cf{xy)dx = ny), 



J a 



(a<-b<b') risulta funzione'di y in tutto l'intervallo (c , d). 



Ci domandiamo, allora : sotto quali condizioni per la f(x , y) la F{y) 

 risulta continua? 



1. Una condizione sufficiente è quella ben nota della continuità di 

 f(xy) rispetto all' insieme delle variabili {x , y). Questa, però, è troppo re- 

 strittiva e già se ne conosce una più larga, data dal prof. Arzelà ( 2 ) il quale 

 suppone la f(x , y) limitata in tutto il campo C e continua rispetto ad y. 



Relativamente alle ipotesi di questa seconda condizione, si possono fare 

 due osservazioni. In primo luogo non è necessario supporre la continuità di 

 f(xy) rispetto ad y in tutto C: può benissimo, tale continuità, mancare 

 completamente lungo le rette x = m, per tutti i valori di m (a<m<b) 

 di un insieme di misura lineare nulla (per es., per tutti i valori razionali 

 di m). Ciò perchè il teorema sull' integrazione per serie, che entra in gioco 

 nella dimostrazione, conserva ancora la sua piena validità. In secondo luogo, 

 si può osservare che, alla condizione, per la f(xy), di essere limitata in 

 tutto C, possono sfuggire i punti di un insieme che sia di misura lineare 

 nulla su ogni retta y = cost. Anche qui la ragione sta nel fatto che il già 

 accennato teorema sull'integrazione per serie continua a sussistere. 



2. Ci si può domandare: per la continuità di Y(y) è necessario sup- 

 porre la continuità di f{xy) , rispetto ad y, su tutte le rette x = m, ad 

 eccezione al più dei valori m di un insieme di misura nulla? La risposta 

 è negativa. Si prenda, per es., per campo C il quadrato di vertici opposti 



(*) Per la massima generalità dei risultati intenderemo di parlare sempre di inte- 

 grabilità nel senso del Lebesgue. 



( 2 ) Sugli integrali di funzioni che oltre alla variabile d'integrazione contengono 

 altre variabili. Kend. E. Acc. delle Se. di Bologna, 1887; Sulle serie di funzioni, Parte 

 seconda. Mem. R. Acc. Se. di Bologna, 1900. 



