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(0 , 0) , (1 , 1), e si definisca la f(xy) nel seguente modo: essendo a un 

 numero qualunque soddisfacente alla condizione 0 <l a <: \ , sia sulle rette 



V = 1 — " , — g- 5 , -gT^ , "TgJ" , ... , /(ay) = 1 per x =j= 2a , f{x , y) = 0 



per # = 2a; sia, poi, /(x- , 0) = 1. Sul lato (0 ,0) , (1 , 0) la f{xy) è, allora, 



discontinua in tutti i punti, rispetto ad y; eppure la F(y) = f f(xy)d%, 



(0 <. è <. 1) è continua, perchè è sempre F(y) == è. 



3. Relativamente al caso in cui esistano punti nell' interno dei quali 

 la funzione f(xy) non resta limitata, il prof. Arzelà ( l ) ha dimostrata la 

 continuità di ¥(y) per y = y, nelle seguenti ipotesi: 1) sulla retta y = y 

 l'insieme dei punti detti è numerabile; 2) sulla medesima retta la f{scy) 



è continua rispetto ad y; 3) l' integrale f f{x , y) dx ammette limite, al 



J a 



tendere di y a y, e questo limite è continuo rispetto all'estremo b. Ora, 

 quest'ultima ipotesi, benché necessaria, è, nella pratica, molto difficile a 

 constatarsi ; è, quindi, utile dare una proposizione la quale non abbia bisogno 

 di supporla verificata. 



Dimostreremo, perciò, che se la f(x , y) ammette su ogni retta x = m 



— ad eccezione, al più, dei valori di m di un insieme di misura nulla — 

 la derivata parziale rispetto ad y, soddisfacente alla condizione 



(2) ^ <M m , 



l>y 



dove M m è un numero positivo che può variare con m; e se, inoltre, la 



— è su C superficialmente integrabile, allora l'integrale (1) è una fun- 

 zione continua di y. Si ha, infatti, 



f f(x,y + h)dx— f f(x,y)dx = {\f{x ,y + h) — f(xy)ldx 



u a <J a Ja 



= f dx f — dy. 



J* Jy !>y * 



Ma, per essere superficialmente integrabile, è ( 2 ) 



rr * *» -r* r ? * = r* r s * ; 



J a J y T>V Ja J y 7>y Jy * J a Dy 



si ha, perciò, 



f f{x , y -f h) dx — ffixy) dx = f^dy P ìf dy , 



J a Jy J a ày 



(*) Loc. cit. 



( 3 ) Fubini, Sugli integrali multipli. Reni. R. Acc. dei Lincei, 1907. 



