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e quindi 



lim 



h=oJa 



f(x,y + h)dx = f{xy) dx . 



Osservazione I. — Invece della — , si può porre che alla (2) sod- 



disfi il rapporto incrementale di f(xy) rispetto ad y. Si vede, perciò, che 

 la proposizione precedente vale anche quando la ^- manca in tutti i punti 



della retta y = cost. 



Osservazione II. — Alla prima delle condizioni poste nel precedente 

 enunciato si può sostituire l'altra, più generale, che sulle rette x = m la 



^ sia solamente finita, purché la f{x,y) sia, ivi, a variazione limitata 

 Dy 



rispetto ad y; si può anche sostituire la condizione che sulle rette x = m 

 la f(xy) sia, rispetto ad y, assolutamente continua (O- 



4. Relativamente alla continuità di (1) possiamo anche dire che se 

 f{x,y-\- h) converge, sempre crescendo per tutti gli x , o sempre decre- 

 scendo , a f(x ,y), al tendere di k a zero per valori positivi, e parimenti 

 per valori negativi, la (1) è funzione continua di y. Ciò risulta dal fatto 



che, per l'ipotesi fatta, esiste il limite dell' integrale I f{x,y-\-h)dx per 



k = -j- 0, ed anche per k — — 0, e quindi che si può applicare un teorema 

 di B. Levi ( 2 ) sull' integrazione delle serie a termini positivi. 



La (1) è ancora continua rispetto ad y se sono verificate le seguenti 

 ipotesi: 1) il quadrato di f(xij) è integrabile rispetto ad x ed è, in 

 tutto C , 



con M numero positivo fisso; 2) la f{xy) è continua rispetto ad y, 

 eccettuate al più le rette x = m, per i valori di m di un insieme di 

 misura nulla. Questa proposizione risulta da un teorema sull'integrazione 

 per serie dato da F. Riesz ( 3 ). 



(') Una funzione f(x) dicesi assolutamente continua in (a , b) se, preso un numero 

 positivo a piccolo a piacere, esiste poi sempre un corrispondente numero fx, maggiore 

 di zero, tale che sia \2\f(?i) — ff > dove la sommatoria è estesa ad un qualsiasi 



gruppo d'intervalli («i.jSi), due a due distinti di {a , b), avente una misura minore di /* 

 (Cfr. Vitali, Sulle funzioni integrali. Atti K. Acc. delle Se. di Tonno, voi. XL). 



( 2 ) Ttend. Istituto Lombardo, 1906. 



(') Comptes rendus, 18 marzo 1907. 



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