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5. Le proposizioni precedenti valgono, come si vede facilmente, anche 

 se i limiti dell'integrale (1), invece di essere fissi, variano in modo continuo 

 al variare di y. Esse, inoltre, danno altrettante condizioni relative all'in- 

 tegrale 



f{xy) dx . 



J a 



Si potrà, infatti, asserire la continuità di quest'integrale ogni qualvolta si 



sappia che l'altro integrale ) f{xy) dx è continuo, per ogni b^> a, e con- 



verge al primo in modo quasi uniforme ('). 



Come caso particolare si ha la continuità di 



J-»oo 

 (f{x) k{xy) dx 

 a 



nelle seguenti ipotesi: 1) la funzione g>(x) data in (a, ce), è monotona e 

 tendente a zero per x = oo ; 2) la k(xy), data per ogni x di {a , <x) e per 

 ogni y di (c , d), è continua rispetto ad y e limitata in ogni campo limi- 

 tato ; 3) per ogni p e q di (a , oo) e per ogni y di (c , d) è 



"a I 



k(xy) dx < M , 

 p I 



con M numero positivo fisso ( 2 ). 



. Si ha la continuità di 3) anche nelle seguenti ipotesi: 1) le funzioni 

 (f{x) , k(xy) sono limitate in tutto il campo a < se < oo , c<-y<.d; 



2) esiste I \<p(x)\dx; 3) la k(xy) è continua rispetto ad y. 



-'a 



6. Occupiamoci, ora, della derivabilità dell' integrale 1), rispetto ad y. 

 L'Arzelà (luogo citato) ha dimostrato che, se la f{xy) ammette la derivata 

 parziali rispetto ad y limitata in tutto C, la 'F(y) è derivabile e vale la 

 forinola 



( 4) mdfx* & 



y ' dy J a Dy v 



(*) Cfr. Arzelà, loc. cit. 



( a ) Cfr. Pierina Quintili, Sulla continuità di un integrale rispetto ad un parametro. 

 Eend. R. Àcc. dei Lincei, novembre 1908 e maggio 1909. 



( 3 ) Veramente l'Arzelà aggiunge la condizione dell'integrabilità di — rispetto ad x. 



<>y 



Per noi, che adottiamo la definizione di integrale del Lebesgue, questa integrabilità ri- 

 sulta dal fatto che la = lim ^— '-JtàlJÙ ^ x ' ^ ; com e limite di funzione misu- 

 ri!/ 7i=o A 



rabile, è misurabile e perciò, essendo limitata, integrabile. 



