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Inoltre ha anche dimostrato che, se la — è integrabile rispetto ad x, 



ly 



e su ogni retta y = cost è numerabile il gruppo dei punti negli intorni 



circolari dei quali la derivata detta non è limitata, allora esiste la — e 



vale la (4) tutte le volte che la F(y) ammette le derivate destra e sinistra, 

 e queste sono continue rispetto all'estremo b dell'integrale (1). 



Se la — non è limitata in tutto C, cosa si potrà dire della deriva- 

 la 



bilità di ¥(y) qualora non si sappia nulla circa l'esistenza e la continuità, 

 rispetto a b, delle sue derivate destra e sinistra? 



Supponiamo che in tutto C esista la derivata parziale ^ , integrabile 



superficialmente ed anche linearmente rispetto ad x ( x ). Inoltre, la f(x , y) 

 sia, rispetto ad y, una funzione assolutamente continua, per ogni x di 

 {a , b') — ad eccezione al più di un insieme di misura nulla. È allora, 



F(?/+ *]- F( y' = \£u(% ,?+«- n*m 



hJ a J y ~Òy * hJ y *J a T>y 



E perciò: condizione necessaria e sufficiente affinchè, nelle ipotesi poste, 



d¥ C b ~òf 



esista — e valqa la (4), è die — dx sia la derivata del suo inte- 

 dy J a Dy 



graie, rispetto ad y. 



dH? ~òf 

 Possiamo, in particolare, dire che esiste la ^— e vale la (4) se la — 



esiste, è superficialmente integrabile, e su ogni retta x = m — eccettuati 

 al più i valori di m di un insieme di misura nulla — soddisfa alla 

 disuguaglianza 



V 



^y 



<M m ; 



ed inoltre è soddisfatta una delle due condizioni: 1) la ~ è continua 

 rispetto ad y, ha il quadrato integrabile rispetto ad x ed è 



( l ) L'ipotesi dell'integrabilità superficiale porta già con sè l'integrabilità rispetto 

 ad x per tutti i valori di y di C, eccettuati quelli di un insieme di misura nulla. 

 ( 3 ) Ved. Fubini, loc. cit. 



