— Ili — 



Il secondo integrale del primo membro si potrà ricavare dalla (B), 

 onde la equazione precedente potrà scriversi 



y jn^y) + cf{Xi % y) + [(, M^a % cf{x , ,)) v(,|* , *) + 



+ f{x , y) r{z\x , x,Q dx = , y) +j* 1( P( x . 2/) v (*l* ' *») daJ • 

 Posto , = logA sarà V'(*k , »0 = 2/ Sfe^ , perciò moltipli- 

 cando ambo i membri della equazione precedente per y^ 1 essa si scriverà 



— (yV(a>, > y)) + f * t 0/ c v (*l* > A* ' Jd) ^ = 



~òy <></ 



= [V>( *i ) y) + . v) v <* I» ' ^ • 



Moltiplichiamo ora ambo i membri della equazione precedente per % 

 ed integriamo fra 0 ed y,. Tenendo conto del corollario stabilito nel § 1, 

 avremo 



■ y 



o anche 



(C) f(x , y) = ^ JV [*(* . Ì) + ' ^ Y ( l0g J I ^ *] ^ 



Dunque, se la (B) ammette una soluzione finita e continua, questa sarà 

 data dalla (C) e reciprocamente può facilmente riconoscersi che la (C) è 

 finita e continua e soddisfa la (B). Però se togliamo la condizione alla f 

 di esser finita per y = Q, la soluzione generale della (B) sarà la somma 

 di due termini, il primo dei quali sarà la espressione (C), ed il secondo sarà 



F(* , y) = (^| + £m V (log 



in cui è una Unzione arbitraria, mentre si ha 



F(a:,2/o) — 



Per le applicazioni che dovremo fare basterà valerci della espressione (C). 



