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bili fra loro e colle funzioni date e l'operazione di composizione gode 

 delle stesse due proprietà commutativa ed associativa della moltiplicazione. 



Date le funzioni F^x^y) , F 2 (x,y) ... F n (x,y) permutabili, si intenderà 

 con Fj F 2 ... F„(#, y) ciò che si trova componendo F, con F 2 , quindi com- 

 ponendo la resultante con F 3 , poscia componendo la nuova resultante otte- 

 nuta con F 4 e così via di seguito. Per i teoremi enunciati l'ordine con cui 

 si prendono F, F 2 ... F n {componenti) non altera il valore della loro resul- 

 tante F, F 2 ... F n (x , y). Questa, quando non possa nascere confusione, si de- 

 noterà ancora più semplicemente con F, F 2 ... F„ . 



Se le componenti F 1 , F 2 ... F n sono eguali fra loro F! F 2 ... F n (x , y) si 

 denoterà con F?(xy) o più semplicemente con Ff. Il nuovo simbolo soddi- 

 sfarà alle stesse leggi delle potenze. 



3. Teorema II. Tutte le funzioni ottenute per somma e per sottra- 

 zione da funzioni permutabili sono permutabili fra loro e colle funzioni 

 primitive e per comporre dei polinomii i cui termini siano funzioni per- 

 mutabili basterà applicare la regola dei prodotti dei polinomii. 



§ 2. — Funzioni permutabili con una costante. 

 Estensione della composizione. 



4. Teorema III. Tutte le funzioni permutabili con una costante 

 sono della forma F(y — x). 



Che le funzioni della detta forma siano permutabili con una costante è 

 evidente. Che non ve ne siano altre si riconosce osservando che, se [Vedi 

 form. (A)] 



pF(a ,S) 4 = f V(f ,y)d$ = <P(x , y) , 



sarà 



_ 2* _ w \ 



' 1>x !>y ^ ' y ' 



e quindi <P, ed in conseguenza F, saranno funzioni di y — x. 



Noi escluderemo per adesso dalle nostre considerazioni tali funzioni. 



5. Se a è un parametro indipendente da x e y intenderemo con aFi(x , y) 

 il prodotto di a per la funzione F { (x , y) e avremo che aF{(x , y) , bF s (x , y) 

 saranno permutabili. Componendole otterremo abFiF s {x , y) , quindi potremo 

 dire che combinando linearmente delle funzioni permutabili, moltiplicate 

 per coefficienti costanti, otterremo delle funzioni permutabili, la cui com- 

 posizione si otterrà colla regola del prodotto dei polinomii. 



6. Se a e b sono costanti le funzioni 6(x , y) = a -f- F^x , y) e 

 ip{x,y) = b-\- F s (x,y) non apparterranno all'insieme delle funzioni permu- 



