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tabili colle funzioni date. Però noi estenderemo l'operazione della composi- 

 zione scrivendo 



b¥ r {x , y) = F r 6{x , y) = a¥ r {x , y) -f F r F$a?y) 



, y) = , y) = «è + «F s (a; , + £F,(;z , y) + FiF s (a: , y) 



e, se non potrà nascere confusione, sostituiremo anche a ~E r 8(% ,y) , dty(x ,y) 

 respettivamente F r 0 , dxp . Con questa estensione le proprietà precedentemente 

 enunciate della composizione restano sempre soddisfatte. 



§ 3. — Serie di funzioni permutabili. 



7. Teorema IV. Abbiasi la serie di potenze 



co 00 co" 



(1) 1*1^-1^...* «?<■■•£ 



0 0 0 



delle variabili complesse Si.,g 2 ,...s n , la quale sia convergente per I^KRi, 

 \s%\<C R 2 , ••• \z n \ <C • Se noi sostituiamo a Zi,z 2 ,...z n respettivamente le 

 funzioni permutabili ¥ 1 (x,y) , F 2 (a- ,«/) , ... ~F n (x,y), e intendiamo che i sim- 

 boli di prodotti e di potenze applicate a queste funzioni rappresentino le 

 operazioni di composizione , otterremo una serie convergente. Se 



#00. ..0 sarà 



nulla, la somma delle serie sarà una funzione di x , y permutabile colle 

 funzioni date- 



8. È da notare come questo teorema ci offre un mezzo di passare dalla 

 serie (1), convergente in generale quando i moduli di Z\,z 2 , ... z n sono infe- 

 riori a certi limiti, ad un'altra convergente comunque grandi siano i valori 

 assoluti di Fj , F 2 , ... F„, purché finiti ; esso poi ci permette di estendere le 

 espressioni di funzioni permutabili e ci dà nuovi modi per eseguire le ope- 

 razioni di composizione. 



Abbiasi infatti una espressione analitica qualsiasi 



(2) F(*j , z 2 , ... *„) 



la quale sia sviluppabile in una serie di potenze intere e positive di z x ,z 2 ...z n 

 convergente in un certo intorno di Zi = z 2 = ••• = z n = 0 ; noi intenderemo 

 con 



(3) F(Fx , F 2 , ... , F n ) 



ciò che si trova sostituendo nella serie alle s x , s 2 , ... z n le F! , F 2 , ... F n e 

 supponendo che i simboli di prodotti e di potenze rappresentino opera- 

 zioni di composizione. 



