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Sostituiamo ora nella (4) a z x ,z % ...z n le li,F 2 .,.F„, secondo quanto 

 dicemmo nel § precedente. Se consideriamo F„ come incognita, avremo una 

 equazione integrale in cui i valori della F M non compariranno linearmente. 

 Se ora nella (5) sostitueremo a le I\ ,F 2 ...F„_i otterremo una 



serie convergente ed essa sarà soluzione della equazione integrale. 



È notevole osservare che, mentre la serie (5) esprime la soluzione del- 

 l'equazione (4) solo quando i moduli di s 1 , z 2 ... z n - x sono al disotto di 

 certi limiti, la serie 



00 00 



I., - **-*- i?--cr(-.»)- 



ci darà la soluzione dell'equazione integrale F(Fi,F 8 .. .F n ) = 0 comunque 

 grandi siano i moduli delle funzioni Fj ,F 2 ...F„_i , purché siano finiti. 



Così, per esempio, se si vuol trovare la funzione S(x,y) quando si co- 

 nosca B>(a,y) data da 



B(» » y) = . y) H o» ' il — 1 *" ni 



4- 



in cui 



si otterrà 



S(o;,|/) = K(x. 2 /)-ÌR 2 (a;,2/) + |R 3 (a ; , 2 /) h + 



ove 



R«(a; , y ) = f V-»(a; , £) R(£ , y) ^ 



e non dovremo porre alcuna limitazione per i valori assoluti di S(#,«/), 

 R(#,#), purché siano finiti. 



10. Supponiamo in particolare che la (4') sia un polinomio razionale e 

 intero in z n di grado m , in modo che l'equazione (4) sia di grado m , allora 

 ponendo F n = /, l'equazione integrale si scriverà 



(«m + <Pm) / W + K-i + <*>m-i) / >m_1 H b («» + *0 f = *o 



in cui (p 0 ,$ Ir ..(P s sono funzioni permutabili fra loro e colle Fi,F 2 ...F n , 

 e fli,a 2 —«m sono costanti. Ammetteremo «! $ 0 per escludere la dirama- 

 zione, come abbiamo detto precedentemente. Chiameremo la precedente equa- 

 zione integrale una equazione integrale di grado mene avremo la soluzione 

 colla regola precedentemente data, mediante uno sviluppo in serie, sempre 

 convergente, che sarà una funzione permutabile colle funzioni date. È evidente 



