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che allo sviluppo in serie potremo sostituire come equivalente una espres- 

 sione analitica qualunque che conduca allo stesso sviluppo. 



La teoria può facilmente estendersi ai sistemi di equazioni. 



§ 5. — Equazioni integrali di 1° e 2° grado. 



11. Supponiamo che l'equazione integrale sia di primo grado, cioè 



f{x ,y)+i V(* , £) f(§ , y) dì = ® 0 (x , y) 



con <P 0 e d>j funzioni permutabili. 

 La soluzione sarà 



f{x ' y) * i +Xlx] j) = O;o{x ' y) ~ + > y) - - 



Se <P 0 = <J> 1 otteniamo il primo ed il secondo principio per la risolu- 

 zione delle equazioni integrali lineari cioè il principio di convergenza ed il 

 principio di reciprocità che abbiamo svolto in Memorie precedenti ('), par- 

 tendo dal concetto che le equazioni integrali possono riguardarsi come il caso 

 limite di equazioni in cui il numero delle incognite e delle equazioni cresce 

 indefinitamente. 



12. Consideriamo l'equazione integrale di 2° grado, cioè 



«i fi* , y) + , £) A* , y) # + f 7(* , ?) A? , ») # 



J X J X 



in cui , a % sono costanti e <$o{x,y) , tf>i(a;,?/) , <P 2 (x,y) sono funzioni per- 

 mutabili, 0,^0. 



La soluzione sarà 



— (a t + gì) + j/ja, + <P, ) 2 — 4(a, + gjjjg 

 7 2(a 2 + 4> 2 ) 



di cui è facile dare lo sviluppo in serie di potenze di <2> 0 , d>i , d> 2 , nel 

 quale le potenze stesse ed i prodotti di esse debbono denotare operazioni di 

 composizione. 



Avremo bisogno di ricorrere ad equazioni integrali di grado superiore 

 in alcuni problemi di ereditarietà. 



( l ) Sulla inversione degli integrali definiti. Atti R. Àcc. di Torino, voi. 31, 1896; 

 Rend. R. Acc. dei Lincei, voi. V, 1° sem. 1896; Annali di Matematica, 1897. 



