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§ 6. — Estensione del Teorema IV. 

 Teorema generale sulle equazioni integro-differenziali. 



13. Teorema V. Abbiasi la serie di potenze, come nel teorema IV, 



00 CO 00 



( 6 ) Zn 2* - li n *» «f 4 2 - £ = , #• - *») • 



0 0 0 



Sostituiamo a i'j , ^ ^ Fi ,s 2 F 2 , ... « n F w wm" *i,* s ,...*„ sono 



parametri indipendenti dalle variabili x,y e intendiamo che i simboli di 

 prodotto e di potenza applicati alle F, , F 2 ... F n rappresentino le opera- 

 zioni di composizione. Otteremo una serie di potenze di g x ,z 2 ...z n conver- 

 gente qualunque siano i moduli di questi parametri. 



Denoteremo questa funzione intera di z x , ••• z n con 



F^Fj , * 2 F 2 , ... ,z n ¥ n ) 



o anche con 



F(^i , g % , ... , z n \x , y). 



14. Consideriamo ora una relazione algebrica fra s x ,z 2 ...z n , la funzione 

 (6) e le derivate di questa funzione fino ad un certo ordine, che scriveremo 



0> lz l ,z t , ... ,*„ F — , — ■ ) = 0. 



Sostituiamo rispettivamente a ifi , F le z x ì x , z^^ ... z n ì n J- , 



So 



essendo | 0 , £i , £2 — dei parametri indipendenti da 2, , £ 2 ... . L'equazione 

 precedente diverrà 



1 V 1 V 1 jggZ ^ \_ 



£o fi ^1 ' lo ^2 ' "' ' ^0 ll Pl - sV» W ' " / = ( 



la quale sarà soddisfatta da f — £ 0 F(^ t\ , z 2 h ... z n ì»j. 

 Eiducendola a forma intera assumerà l'espressione 



Adesso sostituiamo a le F 1? F 2 ...F U e a ? 0 sostituiamo una 



costante o una funzione F 0 permutabile colle funzioni precedenti, in modo 

 che / resulti anch'essa permutabile colle funzioni stesse, e consideriamo i 

 prodotti e le potenze di F 0 ,¥ 1 ... F„ , / e delle derivate di f come operazioni 

 di composizione ; l' equazione resulterà identicamente soddisfatta , onde 

 avremo il 



