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Teorema VI. L'equazione integro-differenziale 



soddisfatta dalla funzione intera f( 2l , z 2 ... z n \x ,y) permutabile con 

 F lv F 2 ...Fn. 



15. Evidentemente il precedente teorema può estendersi ai sistemi di 

 equazioni integro-differenziali, così prendiamo, per esempio, le funzioni 



§sn(&) , £cn(?*) , ?dn(&) 



e sviluppiamole in serie di potenze intere e positive di z le quali, come è 

 ben noto, saranno convergenti nell' intorno di z = 0. Negli sviluppi sosti- 

 tuiamo a £ una funzione S(a?,y) e consideriamo le successive potenze di S 

 come le resultanti delle operazioni di composizione eseguite su S stessa. 

 Otterremo in tal modo tre trascendenti intere di z , funzioni inoltre di 

 che potremo denotare con 



le quali soddisfaranno alle equazioni integro-differenziali 



J V (p 2 (z\xJ) (p 3 {z\% , y) d£ 



d(f x {z\x 



, y) 



dz 





d(fì(z\x 





dz 





d(p 3 (z\x 





dz 



= — k 2 j Vtek^)^!^)^ 



'a; 



in cui k è il modulo delle funzioni ellittiche. 



§ 7. — Teoremi di addizione integrali. Relazioni funzionali. 



16. In una Nota precedente (*) ho costruito la funzione intera 



: 'Mi ) s^ 2 . s 3 z 3 . 



(7) V(^|a;, 2 /)=:S^ + — + Y7^7§- + - 



in cui S,S 2 ,S 3 ... hanno lo stesso significato come nel precedente paragrafo ed 

 ho dimostrato che la detta funzione possiede il teorema d'addizione integrale 



(8) V(* + u\x , y) = Y(z \w,y) + V(« \%,y) + J^V(* |« , £) V(w |* , y) ^ , 



(!) Rend. E. Accad. dei Lincei. Seduta del 6 Febbraio 1910. 



