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sviluppabili nell'intorno di 2 = 0 nelle serie xu — m is z-\-m' is z 2 -{-m" s z*-\-- 

 Teorema Vili. Se f(g) — c x z -(- c 2 z 2 -f- c 3 s 3 -\ — è una f arnione olo- 

 morfa in tutto il piano complesso, la funzione 



(10) f( s \x, y) = c$2 + tf 2 SV + cSW + - , 



in cui S è una funzione di x , y finita e continua, sarà pure una funzione 

 olomorfa di z in tutto il piano complesso. Essa si denoterà anche con f(Sz). 

 Teorema IX. Se 



(11) m = c 1 z-\-c 2 z"-\-c 3 z" + - 



è una funzione meromorfa, la funzione ottenuta per prolungamento anali- 

 tico in tutto il piano complesso dell'elemento individuato nell'intorno di 

 z = 0 dalla serie 



(12) f(z\x , y) = cSz + <? 2 SV + c 8 sV + 



resulterà pure una funzione meromorfa (o olomorfa) di z. 



I teoremi Vili e IX sono stati ottenuti come casi limiti dal teorema VII, 

 quando si supponga n ,i , s , crescenti indefinitamente, in modo da passare 

 dalle somme agli integrali, ma può darsi dei teoremi stessi anche delle 

 dimostrazioni dirette molto semplici. Ci risparmiamo quella del teorema Vili. 

 Quella del teorema IX può aversi nel modo seguente, che ci fornisce nel 

 tempo stesso la espressione analitica della (12) valida in tutto il piano 

 complesso. 



Supponiamo per semplicità che i poli bi,b 2 ... della (11) siano sem- 

 plici. In virtù del teorema di Mittag-Leffler potremo scrivere 



m = S A [0; ~ìr% $] + *>®> 



in cui ~P 0 (z) è una funzione olomorfa in tutto il piano complesso. 

 Poniamo ora la soluzione dell'equazione 



(13) S{x,y) = F(z\x,y)-z \\\z\x ,jf) S(f , y) dì 



SO 



sotto la forma 



(14) ;, t .^/^i^^=T^r 



