— 181 - 



Matematica. — Sulla determinazione di varietà dotate di 

 proprietà intrinseche date a priori. Nota del Corrisp. G. Ricci. 



In una varietà V M definita intrinsecamente mediante la forma differen- 

 ziale quadratica 



re 



<p = 2] rs «rs dx r dx s , 



1 



si considerino n congruenze ortogonali di linee [1] , [2] , ... , [w], delle quali 

 una qualunque [?'] sia rappresentata mediante il sistema di equazioni simul- 

 tanee 



(1) ff = r (^=1, 2, ...,,). 

 Posto 



re 



(2) X{/ r == ^ s <%rs ^1 



valgono le relazioni 



re 



(3) a rs = ^ijr ^i/s ) 



dalle quali risulta 



essendo 



re 



i 



l^/j ^'/r flfov • 



l 



Tra il discriminante a di g> ed il determinante X del sistema di forme 

 xpì ,ip 2 , ... , ha luogo la relazione X 2 = a , per la quale si riconosce che 

 deve essere A =4= 0, e che quindi xf) x , ip 2 , ... , V* devono essere fra loro li- 

 nearmente indipendenti. 



Se invece si suppongono date n forme lineari xp r , ip 2 , ... , i/> n indipen- 

 denti nei differenziali di n variabili pure indipendenti 

 fanno le posizioni (3), il discriminante a della forma positiva g> risulta di- 

 verso da 0, e questa definisce quindi intrinsecamente una V„ . Se con Xf } si 

 designa la derivata del logaritmo di X presa rispetto all'elemento X ijr , si 

 riconosce facilmente che le (2) sono soddisfatte, e che le (1) rappresentano 

 di conseguenza (per i ==s 1 , 2 , ... , ri) n congruenze ortogonali di linee trac- 

 ciate in V„ . 



La metrica di una V n , oltre che per mezzo di una forma differenziale 

 quadratica positiva, può dunque essere definita mediante un sistema di n 



