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forme differenziali lineari fra loro indipendenti ; il che equivale geometrica- 

 mente a definire la metrica stessa mediante n congruenze ortogonali di linee 

 in essa tracciate. Questo secondo metodo è preferibile all'altro nello studio 

 dei problemi, in cui si tratta di stabilire le condizioni di esistenza ed even- 

 tualmente di' determinare delle Y n , sulle quali sia possibile tracciare delle 

 ennuple di congruenze ortogonali dotate di proprietà intrinseche prestabilite. 

 In questa classe generale rientrano i problemi, in cui si tratta di ricercare 

 le condizioni di esistenza ed eventualmente di determinare le varietà V„ 

 dotate di proprietà intrinseche date a priori, di proprietà cioè, che riguar- 

 dino le loro ennuple ed i loro invarianti principali. 



Esporrò qui un metodo generale per la risoluzione dei problemi della 

 natura di quelli sopra considerati ed alcune applicazioni alle varietà a tre 

 dimensioni. 



1. Partendo dalla consueta rappresentazione intrinseca di una V M , e con- 

 siderando una ennupla ortogonale [1] , [2] , ... , [n] di linee in questa trac- 

 ciate, ho definite altrove e designati coi simboli y m quegli invarianti diffe- 

 renziali, ai quali, per il loro significato cinematico, ho dato il nome di rota- 

 zioni della ennupla. Essi sono legati dalle relazioni 



Yhij + Yihj = 0 i 



. n\n — 1) 

 che riducono il loro numero ad ^ ■ 



Se per rappresentare intrinsecamente la V„ si ricorre alla ennupla [1] , 

 [2] , ... , M, che dirò fondamentale, gli invarianti stessi sono definiti dalle 

 formole (') 



(A) 



+ 



3 CO 3 (S) / 



nelle quali le X[ r) rappresentano, come fu detto, le derivate di log l rispetto 



agli elementi hjr. . 



Se si considerano come date le rotazioni e come incognite le forme li- 

 neari i//!, xp 2 ,...,ip n < le condizioni necessarie e sufficienti perchè esista la 

 ennupla corrispondente, e quindi la V„ da essa definita, coincidono con quelle 

 necessarie e sufficienti per la integrabilità del sistema (A); ed ammessa 

 questa, la effettiva sua integrazione conduce alla determinazione di tutte 

 le V„, nelle quali esistono ennuple ortogonali aventi le rotazioni di cui 



H Cfr. Levi-Civita, Sur les intégrale* quadratiques des équations de la Mécanique, 

 Comptes Kendus de l'Académie des Sciences du 22 Février 1887. 



