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Una prima derivazione del sistema (A,) e la eliminazione tra il sistema 

 derivato delle derivate seconde delle X w conducono, tenuto conto delle (A,), 

 alle tre equazioni 



(B) — 



in termini finiti rispetto alle K\r ed a queste equazioni soltanto. Esse si 

 possono dedurre dalle relazioni 



a irs) _ a (sr> 



e sono già note; ma la loro importanza per la risoluzione dei problemi, di 

 cui qui si tratta, è messa in evidenza soltanto collo stabilirle nel modo 



sopra indicato. 



3. Suppongansi le costanti. Posto 



(3) 2 Ó h = Qh+l h+2 Qh+i ' 



le (B) assumono in questo caso la forma 



3 



Se le condizioni espresse da queste equazioni non sono soddisfatte, il pro- 

 blema non ammette alcuna soluzione. Se lo sono, si riconosce che il sistema 

 (AO è passivo ed ortonomo (') ed ammette quindi un gruppo unico di inte- 

 grali ordinari rispondente a dati iniziali arbitrariamente scelti compatibil- 

 mente colle (Ai). 



Limitiamoci a considerare il caso in cui le (3) sono soddisfatte, perche 

 si verificano le condizioni 



4 = 0, 



cioè 



U\ Qhk — Q*h ■ 



Essendo 



24 = y«H-i fc+i H~ y«i+2 7H-2 i 



queste condizioni importano che per ogni congruenza M, il vettore che 

 ne rappresenta la curvatura geoditica, giacente, come è noto, nel piano delle 

 tangenti alle linee delle congruenze [h + 1] ed [h + 2], sia diretto secondo 

 il prolungamento della bisettrice dell'angolo di queste tangenti. 



Se si eseguisce sulle variabili indipendenti una sostituzione lineare or- 

 togonale a coefficienti costanti, le variano come i coefficienti di una forma 

 biìineare covariante, e perciò, soddisfatte le (4), si può sempre, sostituendo 



(.) Vedasi Riquier, Les systèmes d'équatiom à dérivées partielles, Paris, Gauthier- 

 Villars, 1910, Chapitre 7. 



