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essendo 



. ( 0 per h^k 



£hh — ii ; 7 



(1 » h = k , 



e rappresentandosi con dsi l'elemento lineare della linea della congruenza [>']. 

 Poiché le congruenze [1] , [2] , [3] devono essere normali possiamo 



porre 



talché, indicando con D il determinante funzionale di y x , (p 2 , <f t , dovrà essere 



D + O. 



Indicando con (i x , , (i 3 delle indeterminate, le (AJ) si sostituiscono 

 così colle 



mentre la espressione del ds 2 della varietà cercata sarà 



Una prima derivazione delle (A») conduce a condizioni di integrabilità, le 

 quali, Ni , N 2 , N 3 , rappresentando ancora delle indeterminate, sono espresse 

 dalle equazioni 



alle quali si soddisfa ponendo 



Uh fh = Xn{<ph) , 



Xi , ^ , Xs essendo simboli di funzioni arbitrarie. Le (A 2 ) assumono per 

 queste la forma 



mentre le (B) ci dicono che le ó h devono essere le derivate di una funzione 

 arbitraria B prese rispetto alle x h . 



Soddisfatta questa condizione le (K) si integrano poi facilmente, purché 

 si assumano <f, , <p z , <f 3 come variabili indipendenti. Indicando con «,,«*, «s 

 delle funzioni arbitrarie rispettivamente di ^ . ?> 2 , y 3 , il loro sistema inte- 

 grale generale si ha ponendo 



BxfJ h = a h , 



