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dY dY dY dY 



— ; = lim — , — = lim jTi 



dn p= s r dn dn p'= S ' dn 



si ha, come è noto 



dY C- 



(1) ^==iv(s')+jv(s).a(s',s)d S , 



(2) g = - ± + JV) .«(*' , «j rf S ( 2 ). . 



Teoremi sulle funzioni armoniche. 



2. Diremo che una funzione A(£ , i]) è armonica in un campo piano 

 finito a limitato da una o più linee, il cui complesso indicheremo con C, 

 se essa è finita e continua in tutto il campo o* (i punti di C inclusi), se 

 ha le derivate prime finite e continue in tutto il campo e (i punti di C, 



~dK 



al più, esclusi), se esiste ed è finita e continua lungo C l'espressione —, 



e se nei punti dell' interno di <r soddisfa all'equazione di Laplace. 



Diremo che una funzione A(£ , r t ) è armonica in un campo piano infi- 

 nito e' limitato da C , se essa, oltre alle condizioni analoghe a quelle poste 

 per la precedente A(£,?y), soddisfa all'altra di annullarsi all'infinito come 



- = ; e le sue derivate prime come — . 



Come è noto, valgono per la A(f , rj) le seguenti forinole: 



w £ 



dk , 



—— ds = 0 



dn 



(*) Vedi ad es. per le tre dimensioni Lauricella: Alcune applicazioni della teoria 

 delle equazioni funzionali alla fisica matematica, Nuovo Cimento, ser. V, voi. XIII, 

 1907, pp. 1-81. 



( a ) Le formole (1), (2) sono state dimostrate, ponendo condizioni meno restrittive 

 sia per la linea C, che per la funzione v(s) [Vedi G. Pucciano, Studio sui potenziali 

 logaritmici di strato lineare semplice e doppio, e delle loro derivate prime, Rendiconti 

 del Circolo matematico di Talermo, t. XXIII, anno 1907, pp. 374-393]. 



