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Essa sarà una soluzione dell'equazione integrale (7); e poiché: 



f »»(*) ds=Jj v t (s) — bvi(s) [ds = 0, 

 così dovrà aversi lungo C: 



v 3 {s) = 0 , 



ossia : 



v t (s) = bv^s). 



Di qui segue, come complemento al risultato stabilito nel § 4, che 



l'equazione integrale (7) ammette una sola soluzione, determinata a meno 

 di un coefficiente costante ('). 



7. Per fissare le idee, si determini v x (s) in modo che sia: 



0 



Tenendo conto della (10) si ha che la corrispondente funzione V x (f , rj) prende 

 il suo minimo valore (costante) su C ; quindi sarà in un punto generico di C : 



dn 



e in virtù della (9) si avrà lungo C: 

 (12) y 1 (s)>0. 



Di qui risulta, avuto riguardo alla forma (8) dello strato V\(£ , rj), che 

 se la curva C è tale che esiste un punto nell'area ff, per il quale log r 

 non muta mai di segno e non si annulla in tutti i punti nei quali la 

 Vi(s) è diversa da zero, il valore costante di V^l , rj) nei punti di C sarà 

 certamente diverso da zero; ed in particolare sarà negativo per tutte le 

 linee C, le quali possono essere contenute in un cerchio di raggio 1, sarà 

 positivo per tutte le linee C , le quali possono abbracciare un cerchio di 

 raggio 1. 



Si ha ancora che condizione necessaria (in generale non sufficiente) 

 affinchè lo strato Vi(§,rf) .sia uguale allo zero nei punti di C è che la 

 linea C sia intersecata da qualunque circonferenza di raggio 1 col centro 

 nell'area a. 



H La prima dimostrazione che io detti di questa proposizione nella mia Nota: 

 Sulla risoluzione del problema di Dirichlet col metodo di Fredholm e sull 'integrazione 

 delle equazioni dell'equilibrio dei solidi elastici indefiniti, Eendiconti della R. Accad. 

 dei Lincei, t. XV, ser. 5», anno 1906, pp. 611-619, dipende dal teorema di Liapounofi 

 sulla continuità delle derivate normali di doppio strato, e richiede condizioni più restrit- 

 tive sulla natura della linea C. 



Remdioonti. 1910, Voi. XIX, 1° Sem. 34 



