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Chiameremo linea speciale una linea C , il cui corrispondente strato 

 Vi(f, rj) si annulla nei punti di C. 



Esistenza di infinite linee speciali. 



8. Si consideri una linea C, si dia alla corrispondente funzione Vi(.s), 

 soluzione dell'equazione integrale (7), il segno positivo, e si indichi con H 

 il valore costante che il corrispondente strato V^,??) prende nei punti di C. 

 Osserviamo che per q abbastanza grande la Y:i(lf< , 1?) avrà valori, maggiori 

 di qualunque numero positivo arbitrariamente dato; sicché, in virtù della 

 continuità, dato ad arbitro un numero ET maggiore di H, esisterà -nell'area 

 infinita a' limitata da C un luogo C di punti tali che: ' 



V,(* , rj) = H'. 



Dimostriamo anzitutto che il luogo C abbraccia C, ossia che non è 

 possibile allontanarsi indefinitamente dai punti di C sul piano, senza incon- 

 trare in qualche punto il luogo C. 



Infatti, congiunto mediante una linea piana qualsiasi J un punto ar- 

 bitrario P di C con un punto qualsiasi P" dell'area a\ nel quale la funzione 

 Vi(£ ,rj) abbia un valore H">H', si ha, in virtù della continuità, che un 

 punto almeno di C deve far parte della linea J . 



Da quanto precede risulta intanto che farà certamente parte del luogo C 

 una linea r chiusa, abbracciante C. 



Aggiungiamo che nessun altro punto del piano discosto da r può far 

 parte del luogo C. Infatti nel caso contrario questo punto, secondo che si 

 troverà nell'interno dell'area finita limitata da C e da r, o nell'interno 

 dell'area infinita limitata da T, rappresenterà un punto, non facente parte 

 del contorno, nel quale la funzione , rj) piglia il suo valore massimo 

 o minimo. Il che è impossibile. 



Per la medesima ragione la linea r non può intersecarsi in alcun suo 

 punto. 



Possiamo dunque concludere che il luogo C' è formato da una linea 

 chiusa semplice, che non si interseca in alcun suo punto e che abbraccia 

 la linea C. 



9. Indichiamo con n' la direzione della normale nei punti di C' rivolta 

 verso l'area finita da essa racchiusa, e con s' l'arco della curva C 



Osserviamo che, essendo i punti di C discosti da C , le derivate prime 

 di Vj(£ , rj) lungo la linea C saranno finite e continue. 



Ciò premesso, si consideri un punto (? , rj) qualsiasi interno all'area 



