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distribuito lungo la linea d, avente nei punti di d stessa un valore co- 

 stante; e si determini la corrispondente densità vp(si) in modo che sia: 



(14) Jv^s) ds^J^v^iSi) ds,. 



Dimostriamo che non esiste alcuna linea C, abbracciante le due linee 

 C , Ci , nei punti della quale sia : 



Vi(£ , rj) — VP{§ , rj) = costante. 



Infatti, in virtù della (14), la funzione V,(£ , rj) — , rj) è armonica nel 

 campo infinito a" limitato da C; e quindi dovrebbe aversi in tutto il 

 campo e" (i punti di C' inclusi): 



Ora la funzione V x (£ , rj}— Vi 1 ^ , ■»?), essendo analitica in qualunque 

 cerchio « avente il centro in un punto qualsiasi di a' (in particolare di C) 

 e tutto discosto da C e da C,, sarebbe uguale allo zero in tutti i punti 

 di o) e quindi ancora in tutti i punti dell' interno dell'area infinita a'" limi- 

 tata da Ci o da C e Ci, secondo che la Ci abbraccia o non abbraccia la 

 linea C. Allora, in virtù della continuità, anche nei punti di d dovrebbe 

 aversi : 



V,(f , rj) - Y?\ì- ,i?) = 0, 



contrariamente all'ipotesi fatta. 



11. Da ciò che precede risulta l'esistenza di infinite linee speciali 



distinte. 



Infatti sia C una linea chiusa qualsiasi, contenuta nell'interno di un 

 cerchio r di raggio 1, i cui punti siano discosti dalla circonferenza y di T. 

 Scelta la corrispondente y,(s) positiva, il corrispondente strato semplice loga- 

 ritmico Vi avrà su C un valore costante negativo; per cui esisterà una 

 linea C abbracciante C, nei cui punti sarà: V,(?,iy) = 0. Quindi, in virtù del 

 teorema dimostrato al § 9, sarà C una linea speciale. 



Ciò posto, si consideri una nuova linea chiusa d, contenuta nell'in- 

 terno di T e discosta da y, e tale inoltre che nei suoi punti non sia: 

 Vi(£ , rj) = costante. Indichiamo con , rj) lo strato distribuito lungo 

 la linea d ed avente un valore costante nei suoi punti. Supposto di avere 

 scelto il segno positivo per la corrispondente densità vi^s), avremo che il 

 valore costante di Vi 1 ^ , rj) nei punti di C, sarà negativo ; per cui esisterà 

 una linea G[ abbracciante d, nei cui punti sarà Vi 1} (£ , ??) = 0 . Questa 

 linea CI sarà allora una linea speciale, la quale, in virtù del teorema di- 

 mostrato al § precedente, sarà distinta da C 



Si consideri ora una linea chiusa C 2 nell'interno di f e discosta da y, 

 e tale inoltre che nei punti di essa non sia nè Vi(£ ,rj) = costante, nè 



