VÌ I} (^ , »y) = costante. Esisterà una corrispondente linea speciale C2, distinta 

 da C e da Ci. 



Seguitando a ragionare nella medesima maniera, risulterà appunto la 

 esistema di una serie infinita C, C[, C' 2 , ... di linee speciali tutte distinte, 

 corrispondenti alla serie indefinita C , Ci , 0 2 , ... di linee chiuse scelte con 

 la legge ora indicata. 



Proprietà delle linee speciali. 



12. In virtù del risultato al § 7 si ha che una linea speciale qualsiasi 

 non può abbracciare, nè essere abbracciata da ima circonferenza di raggio 1. 

 Più in generale qui vogliamo dimostrare che una linea speciale qualsiasi 

 non può mai abbracciare (0 essere abbracciata da) un'altra linea speciale. 



Infatti, supponiamo che una linea speciale C possa essere abbracciata 

 da un'altra linea speciale C". Si considerino gli strati V'(? , rj) , V" (£,??), 

 distribuiti rispettivamente su C',C" ed aventi rispettivamente su queste 

 linee valori nulli. Supponiamo determinate le corrispondenti densità v'(s'), 

 v"(s") in modo che sia: 



j v\s')ds' =J^v"{s") ds". 



Allora l'espressione V'(£ , rj) — V"(£ , rj) per q abbastanza grande si compor- 

 terà come - e le sue derivate prime come — ; per conseguenza essa rap- 

 presenterà nell'area infinita a[ limitata da C" una funzione armonica. Po- 

 tremo quindi applicare la forinola (5) del § 2, la quale ci darà: 



Jc"( dn" [ V ' dn") as ~ U ' 



e poiché lungo C" si ha: 



V "=°'1P=- 0 "< S ">- 



così si dovrà avere: 



f V'.v".ds" = Q. 



Jc" 



Ora questa uguaglianza è impossibile ; perchè la v"(s") nei punti di C" 

 non è identicamente nulla e nei punti stessi di G" si ha: 



V>0 , y">0. 



Da questo teorema risulta, come corollario, la seguente proposizione: 



una linea C è certamente non speciale, se esiste una linea speciale che 

 l'abbraccia 0 che è da essa abbracciata. 



