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Colla nota regola di derivazione delle funzioni implicite si dedurrà 

 dalla (2) derivando n volte 



— { = F*(X , T , ai , a s , ... a„ +1 ) — 1 , 2 , ... ») , 



ove le Pi sono funzioni razionali in X , Y , ai , a 2 , ... • Indicheremo con 

 F e con F t - ciò che diventano F e Fi quando si è posto X = w 0 , Y = «/ 0 • 

 Dall'equazione (1) si ottengono mediante n — k derivazioni successive 



ove le fi sono ancora razionali in — - e -~ ; denoteremo con /j ciò che 



' dx p dx H 



diventa fi quando si ponga 



_ dy , dP~ l y 



dxP +i — y* ' - ^s-i — yo • 



sostituzioni, si faccia -j^ = F». 



Infine denotiamo con f ciò che diviene f quando, oltre alle predette 



;„ dPy 

 dx* 



Ciò posto, l'eliminazione degli n -f- 1 parametri «i , a% , ... a„+i fra le 

 n -f- 2 equazioni 



F(X , Y , «1 , «» , ... fln+l) = 0 , 



F = 0 , ¥ 1 = y/ : F 2 = y t " , ... F p _, = y 0 <*>-» = £| , *p+i = 



... F ft _, = yo*"" ,7=0,/: = F fe+1 , = F ft+2 , ... 7„_ ft = F n 

 porterà ad un'equazione 



che per ogni valore c attribuito a rappresenterà la curva di (2) oscu- 

 li/ 



latrice alla curva integrale di (1) della varietà r P , corrispondente a ~^ — c. 



La (3) è razionale nei tre argomenti. L'inviluppo delle curve (3) ha 

 per equazione quella che risulta dalla eliminazione di a fra le due equazioni 



•(x,T,«)-o ^ = o 



