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avendo, per comodità, scritto a in luogo di -~\ e poiché essa equazione 



ti" «A. 



sarà razionale in X e Y, la proposizione enunciata è dimostrata completa- 

 mente. 



3. Come caso particolare, si supponga ^ = 0 , # = 1 e per curve (2) 

 si prendano le oo 2 rette del piano. Allora l'equazione (1) sarà della forma 



ove A rs sono funzioni di x o, in particolare, costanti. Un facile calcolo 

 mostra che in questo caso la (3) diviene 



«_ 1 n-q /7 _|_ i,\ 



( 5 ) ZZI (- 1)T T A„ +ft , M _ 9+ft (X - aro)- 3 -* Y*y* = 0. 



2=0 7l=0 ft=o \ . p . ' 



L' inviluppo T delle tangenti alle curve integrali di (4) nei punti della 

 retta ha per equazione il discriminante della (5) considerata come 



equazione algebrica di grado n in y, eguagliato a zero. 



Se si osserva che i coefficienti delle potenze di y sono razionali interi 

 in X e Y di grado n al più, si vede tosto che l'inviluppo T è una curva 

 algebrica di ordine non superiore ad n(2n — 1). 



dv 



L'ordine di T può essere inferiore a n(2n — 1): se la ~ entra al mas- 



CLJG 



simo al grado m, l'ordine T sarà m(2n — 1) al più, essendo allora i coeffi- 

 cienti delle potenze di y al più di grado m in X e Y. Due sottocasi sono 

 notevoli: 



1°. La (4) è della forma 



Ì^ÌM— Z B ^* = ° {m<n). 



Se si calcola il discriminante in parola è facile vedere che il suo grado 

 si riduce a m(n-\-m — 1). Basta fare m = l per avere il caso studiato 

 dal prof. Pascal. 



2°. La (4) è della forma 



k=0 I k=0 



Allora i coefficienti di yi nell'equazione, di cui si deve calcolare il 

 discriminante, sono in X e Y di grado q per 0<.q <. w — m — 1, o sono 

 di grado n per q~^>n — m — 1, quindi l'ordine dell'inviluppo T non supera 



O — m—l)(n — m) , , nin 4-1) . m(m 4-1) 

 — + (m + 1) n = 4 — -f 1 . 



